Теорема Столлингса о концах групп

В математической теме теории групп , в теореме Столлингса о концах групп состояний , что конечно порожденной группа G имеет более чем один конец , если и только если группа G допускает нетривиальное разложение как объединенный свободный продукт или расширения HNN над конечным подгруппа . На современном языке теории Басса – Серра теорема гласит, что конечно порожденная группа G имеет более одного конца тогда и только тогда, когда G допускает нетривиальное (то есть без глобальной неподвижной точки) действие на симплициальном дереве с конечными стабилизаторами ребер и без инверсий ребер.

Теорема была доказана Джоном Р. Столлингсом сначала в случае без кручения (1968 г.) ^[1], а затем в общем случае (1971 г.). ^[2]

Концы графиков [ править ]

Пусть Γ - связный граф, в котором степень каждой вершины конечна. Можно рассматривать Γ как топологическое пространство , придавая ему естественную структуру одномерного клеточного комплекса . Тогда концы Γ - это концы этого топологического пространства. Более точное определение количества концов графа для полноты приведено ниже.

Пусть n ≥ 0 - целое неотрицательное число. Говорят, что граф Γ удовлетворяет условию e (Γ) ≤ n, если для любого конечного набора F ребер графа Γ граф Γ -  F имеет не более n бесконечных компонент связности . По определению e (Γ) = m, если e (Γ) ≤ m и если для любого 0 ≤ n < m утверждение e (Γ) ≤ n неверно. Таким образом, e (Γ) = m, если m - наименьшее целое неотрицательное число n такое, чтое (Γ) ≤ п . Если не существует целого числа n ≥ 0 такого, что e (Γ) ≤ n , положим e (Γ) = ∞. Число e (Γ) называется числом концов Γ.

Неформально e (Γ) - это количество «бесконечно удаленных компонент связности» Γ. Если e (Γ) = m <∞, то для любого конечного множества F ребер графа Γ существует конечное множество K ребер графа Γ с F ⊆ K такое, что Γ -  F имеет ровно m бесконечных компонент связности. Если e (Γ) = ∞, то для любого конечного множества F ребер графа Γ и любого целого числа n ≥ 0 существует конечное множество K ребер графа Γ с F ⊆ K такое, что Γ -  K имеет не менее n бесконечные компоненты связности.

Концы групп [ править ]

Пусть G - конечно порожденная группа . Пусть S ⊆ G конечное порождающее множество из G , и пусть Γ ( G ,  S ) обозначим граф Кэли из G по отношению к S . Количество концов G определяется как е ( G ) = е (Γ ( G ,  S )). Основной факт теории концов групп гласит, что e (Γ ( G ,  S )) не зависит от выбора конечного порождающего множества S группыG , так что e ( G ) определено корректно.

Основные факты и примеры [ править ]

• Для конечно порожденной группы G мы имеем е ( G ) = 0 тогда и только тогда , когда G конечна.
• Для бесконечной циклической группы имеем${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle е (\ mathbb {Z}) = 2.}$
• Для свободной абелевой группы ранга два имеем${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ Displaystyle е (\ mathbb {Z} ^ {2}) = 1.}$
• Для свободной группы F ( X ), где 1 <| X | <∞ имеем e ( F ( X )) = ∞

Теоремы Фрейденталя-Хопфа [ править ]

Ганс Фройденталь ^[3] и независимо Хайнц Хопф ^[4] установили в 1940-х годах следующие два факта:

• Для любой конечно порожденной группы G имеем e ( G ) ∈ {0, 1, 2, ∞}.
• Для любой конечно порожденной группы G мы имеем е ( G ) = 2 , если и только если G является практически бесконечным циклическим (то есть, G содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса ).

Чарльз Т.К. Уолл доказал в 1967 году следующий дополнительный факт: ^[5]

• Группа G является практически бесконечной циклической тогда и только тогда, когда она имеет конечную нормальную подгруппу W такую, что G / W либо бесконечная циклическая, либо бесконечная диэдральная группа .

Сокращения и почти инвариантные множества [ править ]

Пусть G будет конечно порожденная группа , S ⊆ G конечное порождающее множество из G , и пусть Γ = Γ ( G ,  S ) обозначим граф Кэли из G по отношению к S . Для подмножества ⊆ G обозначим через А ^* дополнение G  -  из A в G .

Для подмножества ⊆ G , то граничное ребра или со-границы δA из А состоит из всех (топологических) ребер Г соединения вершины из А с вершиной из А ^* . Отметим, что по определению δA = δA ^∗ .

Упорядоченная пара ( A ,  A ^∗ ) называется разрезом в Γ, если δA конечно. Разрез ( A , A ^∗ ) называется существенным, если оба множества A и A ^∗ бесконечны.

Подмножество ⊆ G называется почти инвариантным , если для каждого г ∈ G в симметрической разности между А и Ag конечно. Легко видеть, что ( A , A ^∗ ) является разрезом тогда и только тогда, когда множества A и A ^∗ почти инвариантны (эквивалентно, тогда и только тогда, когда множество A почти инвариантно).

Отрезки и концы [ править ]

Простое, но важное наблюдение гласит:

e ( G )> 1 тогда и только тогда, когда существует хотя бы один существенный разрез ( A , A ^∗ ) в Γ.

Разрезания и расщепления по конечным группам [ править ]

Если G = H ∗ K, где H и K - нетривиальные конечно порожденные группы, то граф Кэли группы G имеет хотя бы один существенный разрез и, следовательно, e ( G )> 1. В самом деле, пусть X и Y конечные порождающие множества для H и K. соответственно, так что S = X  ∪  Y - конечное порождающее множество для G, и пусть Γ = Γ ( G , S ) - граф Кэлииз G относительно S . Пусть состоит из тривиального элемента и всех элементов G , нормальные форм выражения для G = H * K начинается с нетривиальным элементом Н . Таким образом , ^* состоит из всех элементов G , нормальные формы выражения для G = H * K начинается с нетривиальным элементом K . Нетрудно видеть, что ( A , A ^∗ ) - существенный разрез в Γ, так что e ( G)> 1.

Более точная версия этого аргумента показывает, что для конечно порожденной группы G :

• Если G = H ∗ _C K - свободное произведение с объединением, где C - конечная группа такая, что C ≠ H и C ≠ K, то H и K конечно порождены и e ( G )> 1.
• Если это HNN-расширение , где С ₁ , С ₂ изоморфные конечные подгруппы из Н , то G является конечно порожденной группой и е ( G )> 1.${\displaystyle \scriptstyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$

Теорема Столлингса показывает, что верно и обратное.

Формальная формулировка теоремы Столлингса [ править ]

Пусть G - конечно порожденная группа .

Тогда e ( G )> 1 тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений:

• Группа G допускает расщепление G = Н * _С K в виде свободного произведения с объединением , где С является конечной группой , такой , что С ≠ Н и С ≠ К .
• Группа G является расширением HNN , где и С ₁ , С ₂ изоморфные конечные подгруппы из H .${\displaystyle \scriptstyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$

На языке теории Басса – Серра этот результат можно переформулировать следующим образом: для конечно порожденной группы G мы имеем e ( G )> 1 тогда и только тогда, когда G допускает нетривиальное (то есть без глобальной фиксированной вершины) действие на симплициальное дерево с конечными стабилизаторами ребер и без обращения ребер.

Для случая, когда G - конечно порожденная группа без кручения , из теоремы Столлингса следует, что e ( G ) = ∞ тогда и только тогда, когда G допускает собственное разложение свободного произведения G = A ∗ B с нетривиальными как A, так и B.

Приложения и обобщения [ править ]

• Среди непосредственных применений теоремы Столлингса было доказательство Столлингсом ^[6] давней гипотезы о том, что каждая конечно порожденная группа когомологической размерности единица свободна и что каждая практически свободная группа без кручения свободна.
• Из теоремы Столлингса также следует, что свойство иметь нетривиальное расщепление над конечной подгруппой является квазиизометричным инвариантом конечно порожденной группы, поскольку количество концов конечно порожденной группы, как легко видеть, является инвариантом квазиизометрии. По этой причине теорема Столлингса считается одним из первых результатов геометрической теории групп .
• Теорема Столлингса явилась отправной точкой для теории доступности Данвуди . Конечно порожденная группа G называется доступной, если процесс повторного нетривиального расщепления G по конечным подгруппам всегда заканчивается за конечное число шагов. В теории Басса-Серра терминах , что число ребер в уменьшенных расщеплениях G как фундаментальная группа графа групп с конечными краевыми группами ограниченно некоторой константой , зависящей от G . Данвуди доказал ^[7], что любая конечно определенная группа доступна, но существуютконечно порожденные группы , которые недоступны. ^[8] Линнелл ^[9] показал, что если ограничить размер конечных подгрупп, над которыми производятся расщепления, то каждая конечно порожденная группа также доступна в этом смысле. Эти результаты, в свою очередь, привели к другим версиям доступности, таким как доступность Бествина- Фейна ^[10] конечно представленных групп (где рассматриваются так называемые «маленькие» разбиения), ацилиндрическая доступность, ^{[11] [12]} сильная доступность, ^[13] и другие.
• Сталлингс теорема является основным инструментом доказательства того, что конечно порожденная группа G является практически свободным тогда и только тогда , когда G может быть представлена в виде фундаментальной группы конечного графа групп , где все вершинные и реберные группы конечны (см, например, ^[14] ).
• Используя результат Данвуди о доступности, теорему Столлингса о концах групп и тот факт, что если G - конечно представимая группа с асимптотической размерностью 1, то G практически свободна ^[15], можно показать ^[16], что для конечно определенной гиперболической группы G гиперболическая граница G имеет нулевую топологическую размерность тогда и только тогда, когда G практически свободна.
• Также были рассмотрены относительные версии теоремы Столлингса и относительные концы конечно порожденных групп относительно подгрупп. Для подгруппы H ≤ G конечно порожденной группы G один определяет Число относительного концов е ( С , Н ) , как число концов относительного Кэли графика ( графа смежных классов шрейерова ) из G относительно H . Случай, когда e ( G , H )> 1, называется полурасщеплением G над H. Ранние работы по полурасщеплению, вдохновленные теоремой Столлингса, были выполнены в 1970-х и 1980-х годах Скоттом ^[17] Сварупом ^[18] и другими. ^{[19] [20]} Работы Сагеева ^[21] и Герасимова ^[22] в 1990-х годах показали, что для подгруппы H ≤ G условие e ( G , H )> 1 соответствует группе G, допускающей существенное изометрическое действие на CAT (0) -cubing где подгруппа соизмерима с Hстабилизирует существенную «гиперплоскость» (симплициальное дерево является примером CAT (0) -куба, где гиперплоскости являются серединами ребер). В определенных ситуациях такое полурасщепление может быть продвинуто до фактического алгебраического расщепления, обычно по подгруппе, соизмеримой с H , например, в случае, когда H конечна (теорема Столлингса). Другая ситуация, когда может быть получено фактическое расщепление (по модулю нескольких исключений), - это полуразбиение по практически полициклическим подгруппам. Здесь случай полурасщепления словесно-гиперболических групп над двусторонними (практически бесконечными циклическими) подгруппами рассматривался Скоттом-Сварупом ^[23] и Боудитчем . ^[24]Случай полурасщепления конечно порожденных групп относительно практически полициклических подгрупп рассматривается с помощью алгебраической теоремы Данвуди-Свенсона о торе. ^[25]

• Ряд новых доказательств теоремы Столлингса был получен другими после первоначального доказательства Столлингса. Данвуди дал доказательство ^[26], основанное на идеях разрезов ребер. Позже Данвуди также дал доказательство теоремы Столлингса для конечно определенных групп, используя метод «треков» на конечных 2-комплексах. ^[7] Нибло получил доказательство ^[27] теоремы Столлингса как следствие относительной версии CAT (0) -кубика Сагеева, в которой CAT (0) -кубинг в конечном итоге превращается в дерево. В статье Нибло также определяется абстрактное теоретико-групповое препятствие (которое является объединением двойных смежных классов H в G) для получения фактического расщепления из полурасщепления. Также возможно доказать теорему Столлингса для конечно представленных групп, используя технику римановой геометрии минимальных поверхностей , где сначала реализуется конечно представленная группа как фундаментальная группа компактного 4-многообразия (см., Например, набросок этого аргумента в обзорной статье Уолла ^[28] ). Громов изложил доказательство (см. Стр. 228–230 в ^[16] ), в котором аргумент о минимальных поверхностях заменяется более простым аргументом гармонического анализа, и Капович продвинул этот подход, чтобы охватить исходный случай конечно порожденных групп. ^{[15] [29]}

См. Также [ править ]

• Бесплатный продукт с амальгамированием
• Расширение HNN
• Теория Басса – Серра
• График групп
• Геометрическая теория групп

Заметки [ править ]