уравнение Пуассона
Уравнение Пуассона представляет собой эллиптическое уравнение в частных производных, широко используемое в теоретической физике . Например, решение уравнения Пуассона представляет собой потенциальное поле, вызванное данным распределением электрического заряда или плотности массы; зная потенциальное поле, можно рассчитать электростатическое или гравитационное (силовое) поле. Это обобщение уравнения Лапласа , которое также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика Симеона Дени Пуассона . [1] [2]
При тождестве получаем уравнение Лапласа .
В случае гравитационного поля g из-за притягивающего массивного объекта с плотностью ρ закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме можно использовать для получения соответствующего уравнения Пуассона для гравитации:
Поскольку гравитационное поле консервативно (и безвихревое ), его можно выразить через скалярный потенциал ϕ :
Если плотность массы равна нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. Соответствующую функцию Грина можно использовать для вычисления потенциала на расстоянии r от центральной точки с массой m (т. е. фундаментальное решение ). В трех измерениях потенциал
Одним из краеугольных камней электростатики является постановка и решение задач, описываемых уравнением Пуассона. Решение уравнения Пуассона сводится к нахождению электрического потенциала φ для данного распределения заряда .
