Пятно Араго

Точечный эксперимент Араго. Точечный источник освещает круглый объект, отбрасывая тень на экран. В центре тени появляется яркое пятно из-за дифракции , что противоречит предсказанию геометрической оптики .

Фотография пятна Араго в тени кругового препятствия диаметром 5,8 мм.

Численное моделирование интенсивности монохроматического света с длиной волны λ = 0,5 мкм за круговым препятствием радиусом R = 5 мкм = 10λ .

Воспроизвести медиа

Формирование спота Араго (выберите "Источник WebM" для хорошего качества)

Пятно Араго формируется в тени

В оптике , то Пятно Пуассон , Пуассон пятно , ^{[1] [2]} или пятно Френеля ^[3] является яркой точкой , которая появляется в центре кругового объекта тени из - за дифракции Френеля . ^{[4] [5] [6] [7]} Это место играет важную роль в открытии в волновых природах от света и является обычным способом , чтобы продемонстрировать , что свет ведет себя как волны (например, в студентах физики лабораторных упражнений) .

Базовая экспериментальная установка требует «точечного источника», такого как освещенное отверстие или расходящийся лазерный луч . Размеры установки должны соответствовать требованиям дифракции Френеля . А именно, число Френеля должно удовлетворять

${\ Displaystyle F = {\ гидроразрыва {d ^ {2}} {\ ell \ lambda}} \ gtrsim 1,}$

где

d - диаметр круглого объекта,

ℓ - расстояние между объектом и экраном, а

λ - длина волны источника.

Наконец, край круглого предмета должен быть достаточно гладким.

В совокупности эти условия объясняют, почему яркое пятно не встречается в повседневной жизни. Однако с доступными сегодня лазерными источниками нет необходимости проводить эксперимент с пятном Араго. ^[8]

В астрономии пятно Араго также можно наблюдать на сильно расфокусированном изображении звезды в ньютоновский телескоп . Здесь звезда представляет собой почти идеальный точечный источник на бесконечности, а вторичное зеркало телескопа представляет собой круговое препятствие.

Когда свет падает на круглое препятствие, принцип Гюйгенса гласит, что каждая точка в плоскости препятствия действует как новый точечный источник света. Свет, исходящий из точек на окружности препятствия и идущий к центру тени, проходит точно такое же расстояние, поэтому весь свет, проходящий близко от объекта, попадает на экран синхронно и конструктивно мешает . Это приводит к появлению яркого пятна в центре тени, где геометрическая оптика и теории частиц света предсказывают, что света вообще не должно быть.

История [ править ]

В начале XIX века идея о том, что свет не распространяется просто по прямым линиям, стала популярной. Томас Янг опубликовал свой эксперимент с двумя щелями в 1807 году. ^[9] Первоначальный эксперимент с пятнами Араго был проведен десятилетием позже и стал решающим экспериментом по вопросу о том, является ли свет частицей или волной. Таким образом, это пример Experimentum crucis .

В то время многие поддерживали корпускулярную теорию света Исаака Ньютона, в том числе теоретик Симеон Дени Пуассон . ^[10] В 1818 году Французская академия наук объявила конкурс по объяснению свойств света, в котором Пуассон был одним из членов судейской комиссии. Инженер - строитель Огюстен-Жан Френель принял участие в этом конкурсе, представив новую волновую теорию света . ^[11]

Пуассон подробно изучил теорию Френеля и, будучи сторонником теории частиц света, искал способ доказать ее ошибочность. Пуассон подумал, что он обнаружил изъян, когда он утверждал, что следствием теории Френеля является то, что в тени кругового препятствия будет существовать осевое яркое пятно, где должна быть полная темнота согласно теории частиц света. Поскольку пятно Араго нелегко наблюдать в повседневных ситуациях, Пуассон интерпретировал его как абсурдный результат и что он должен опровергнуть теорию Френеля.

Однако глава комитета Доминик-Франсуа-Жан Араго (который, кстати, позже стал премьер-министром Франции) решил провести эксперимент более подробно. Он прилепил металлический диск диаметром 2 мм к стеклянной пластине с помощью воска. ^[12] Ему удалось наблюдать предсказанное пятно, что убедило большинство ученых в волновой природе света и принесло победу Френелю. ^[13]

Позже Араго заметил, что это явление (позднее известное как «пятно Пуассона» или «пятно Араго») уже наблюдалось Делислем ^[14] и Маральди ^[15] столетием раньше.

Это только оказалось гораздо позже (в одном из Альберта Эйнштейна «с Annus Mirabilis бумаг ) , что свет может быть в равной степени , как описано частицы ( двойственности волна-частица света).

Теория [ править ]

В основе волновой теории Френеля лежит принцип Гюйгенса-Френеля , который гласит, что каждая свободная точка волнового фронта становится источником вторичного сферического импульса и что амплитуда оптического поля E в точке на экране определяется выражением суперпозиция всех этих вторичных вейвлетов с учетом их относительных фаз. ^[16] Это означает, что поле в точке P ₁ на экране задается поверхностным интегралом:

${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}$

где коэффициент наклона, который гарантирует, что вторичные вейвлеты не распространяются в обратном направлении, определяется выражением${\displaystyle K(\chi )}$

${\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}$

а также

A - амплитуда исходной волны

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$это волновое число

S - поверхность без препятствий.

Первый член вне интеграла представляет колебания от исходной волны на расстоянии r ₀ . Точно так же член внутри интеграла представляет колебания вторичных вейвлетов на расстояниях r ₁ .

Чтобы получить интенсивность за круглым препятствием с помощью этого интеграла, предполагается, что экспериментальные параметры удовлетворяют требованиям режима дифракции в ближней зоне (размер круглого препятствия велик по сравнению с длиной волны и мал по сравнению с расстояниями g = P ₀ C и b = CP ₁ ). Переход к полярным координатам дает интеграл для круглого объекта радиуса a (см., Например, Born and Wolf ^[17] ):

${\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$

Этот интеграл можно решить численно (см. Ниже). Если g велико, а b мало, так что нельзя пренебречь углом, можно записать интеграл для осевого случая (точка P ₁ находится в центре тени) как (см. ^[18] ):${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$

Интенсивность источника , которая является квадратом амплитуды поля, равна и напряженности на экране . Таким образом, осевая интенсивность как функция расстояния b определяется выражением:${\displaystyle I_{0}=\left|{\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}\right|^{2}}$${\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}$

${\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}$

Это показывает, что интенсивность на оси в центре тени стремится к интенсивности источника, как если бы круглый объект вообще не присутствовал. Более того, это означает, что пятно Араго присутствует даже на расстоянии нескольких диаметров препятствия позади диска.

Расчет дифракционных изображений [ править ]

Чтобы рассчитать полное дифракционное изображение, видимое на экране, необходимо учитывать поверхностный интеграл из предыдущего раздела. Больше нельзя использовать круговую симметрию, поскольку линия между источником и произвольной точкой на экране не проходит через центр круглого объекта. С функцией диафрагмы, равной 1 для прозрачных частей плоскости объекта и 0 в противном случае (т.е. она равна 0, если прямая линия между источником и точкой на экране проходит через блокирующий круглый объект), интеграл, который необходимо решить, равен предоставлено:${\displaystyle g(r,\theta )}$

${\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}$

Численный расчет интеграла с использованием правила трапеций или правила Симпсона неэффективен и становится численно нестабильным, особенно для конфигураций с большим числом Френеля . Однако можно решить радиальную часть интеграла, так что численным остается только интегрирование по азимутальному углу. ^[19] Для конкретного угла необходимо решить линейный интеграл для луча с началом в точке пересечения прямой P ₀ P ₁ с круговой плоскостью объекта. Вклад для конкретного луча с азимутальным углом и прохождения прозрачной части плоскости объекта от до составляет:${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle r=s}$${\displaystyle r=t}$

${\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{\pi \mathbf {i} s^{2}/2}-e^{\pi \mathbf {i} t^{2}/2}.}$

Таким образом , для каждого угла один есть , чтобы вычислить точку пересечения ( ы ) луча с круговым объектом , а затем просуммировать вклады для некоторого числа углов между 0 и . Результаты такого расчета показаны на следующих изображениях.${\displaystyle I(\theta _{1})}$${\displaystyle 2\pi }$

На изображениях показаны смоделированные пятна Араго в тени диска разного диаметра (4 мм, 2 мм, 1 мм - слева направо) на расстоянии 1 м от диска. Точечный источник имеет длину волны 633 нм (например, гелий-неоновый лазер) и расположен на расстоянии 1 м от диска. Ширина изображения соответствует 16 мм.

Экспериментальные аспекты [ править ]

Интенсивность и размер [ править ]

Для идеального точечного источника интенсивность пятна Араго равна интенсивности невозмущенного волнового фронта . Только ширина пика интенсивности пятна Араго зависит от расстояний между источником, круглым объектом и экраном, а также от длины волны источника и диаметра круглого объекта. Это означает, что уменьшение длины волны источника можно компенсировать увеличением расстояния l между круглым объектом и экраном или уменьшением диаметра круглого объекта.

Поперечное распределение интенсивности на экране фактически имеет форму квадрата нулевой функции Бесселя первого рода при приближении к оптической оси и при использовании источника плоской волны (точечный источник на бесконечности): ^[20]

${\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)}$

где

r - расстояние точки P ₁ на экране от оптической оси

d - диаметр круглого объекта

λ - длина волны

b - расстояние между круглым объектом и экраном.

Следующие изображения показывают радиальное распределение интенсивности смоделированных изображений пятна Араго выше:

Красные линии на этих трех графиках соответствуют смоделированным изображениям выше, а зеленые линии были вычислены путем применения соответствующих параметров к квадрату функции Бесселя, приведенной выше.

Конечный размер источника и пространственная согласованность [ править ]

Основная причина, по которой пятно Араго трудно наблюдать в круговых тенях от обычных источников света, заключается в том, что такие источники света плохо соответствуют точечным источникам. Если источник волны имеет конечный размер S, то пятно Араго будет иметь протяженность, равную S × b / g , как если бы круглый объект действовал как линза. ^[16] В то же время интенсивность пятна Араго уменьшается по сравнению с интенсивностью невозмущенного волнового фронта. Определяя относительную интенсивность как интенсивность, деленную на интенсивность невозмущенного волнового фронта, относительную интенсивность для протяженного круглого источника диаметром w можно точно выразить с помощью следующего уравнения: ^[21]${\displaystyle I_{rel}}$

${\displaystyle I_{rel}(w)=J_{0}^{2}({\frac {wR\pi }{g\lambda }})+J_{1}^{2}({\frac {wR\pi }{g\lambda }})}$

где и - функции Бесселя первого рода. R - радиус диска, отбрасывающего тень, длина волны и g - расстояние между источником и диском. Для больших источников применяется следующее асимптотическое приближение: ^[21]${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle I_{rel}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}$

Отклонение от округлости [ править ]

Если поперечное сечение круглого объекта немного отклоняется от его круглой формы (но все еще имеет острый край в меньшем масштабе), форма точечного источника Араго изменяется. В частности, если объект имеет эллипсоидальное поперечное сечение, пятно Араго имеет форму эволюты . ^[22] Обратите внимание, что это только в том случае, если источник близок к идеальному точечному источнику. Из протяженного источника на пятно Араго влияет лишь незначительное влияние, поскольку можно интерпретировать пятно Араго как функцию распределения точек . Следовательно, изображение расширенного источника только становится размытым из-за свертки с функцией рассеяния точки, но не уменьшается по всей интенсивности.

Шероховатость поверхности круглого объекта [ править ]

Пятно Араго очень чувствительно к мелким отклонениям от идеального круглого сечения. Это означает, что небольшая шероховатость поверхности круглого объекта может полностью погасить яркое пятно. Это показано на следующих трех диаграммах, которые представляют собой моделирование пятна Араго от диска диаметром 4 мм ( g  =  b  = 1 м):

Моделирование включает регулярную синусоидальную гофру круглой формы с амплитудой 10 мкм, 50 мкм и 100 мкм соответственно. Обратите внимание, что гофра на краю 100 мкм практически полностью удаляет центральное яркое пятно.

Этот эффект лучше всего можно понять, используя концепцию зоны Френеля . Поле, передаваемое радиальным сегментом, который выходит из точки на краю препятствия, обеспечивает вклад, фаза которого тесно связана с положением краевой точки относительно зон Френеля. Если разброс радиуса препятствия намного меньше ширины зоны Френеля у края, вклады от радиальных сегментов примерно совпадают по фазе и конструктивно интерферируют . Однако, если случайные гофры на краях имеют амплитуду, сравнимую или превышающую ширину этой соседней зоны Френеля, вклады радиальных сегментов больше не совпадают по фазе и компенсируют друг друга, уменьшая интенсивность пятна Араго.

Соседняя зона Френеля приблизительно определяется следующим образом: ^[23]

${\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}$

Гофра на краю не должна превышать 10% этой ширины, чтобы можно было увидеть почти идеальное пятно Араго. В приведенном выше моделировании с диском диаметром 4 мм прилегающая зона Френеля имеет ширину около 77 мкм.

Пятно Араго с волнами материи [ править ]

В 2009 году был продемонстрирован эксперимент с пятнами Араго со сверхзвуковым расширяющимся пучком молекул дейтерия (пример волн нейтральной материи ). ^[23] Материальные частицы, ведущие себя как волны, известны из квантовой механики . Волновая природа частиц фактически восходит к гипотезе де Бройля ^[24], а также экспериментам Дэвиссона и Гермера . ^[25] Пятно Араго из электронов, которые также составляют волны материи, можно наблюдать в просвечивающий электронный микроскоп при исследовании круговых структур определенного размера.

Наблюдение пятна Араго с большими молекулами, доказывающее, таким образом, их волновую природу, является темой текущих исследований. ^[23]

Другие приложения [ править ]

Помимо демонстрации волнового поведения, спот Араго также имеет несколько других применений. Одна из идей - использовать точку Араго в качестве ориентира прямой линии в системах выравнивания. ^[26] Другой способ - исследовать аберрации в лазерных лучах, используя чувствительность пятна к аберрациям луча . ^[20] Наконец, арагоскоп был предложен как метод значительного улучшения дифракционно ограниченного разрешения космических телескопов. ^{[27] [28]}

См. Также [ править ]

• Арагоскоп
• Скрытый диск

Ссылки [ править ]