Преобразование Прандтля – Глауэрта - это математический метод, который позволяет решать некоторые задачи о сжимаемом потоке методами расчета несжимаемого потока . Это также позволяет применять данные о несжимаемом потоке к случаям сжимаемого потока.
Математическая формулировка
Обтекание тонкими телами невязкой сжимаемой жидкости регулируется линеаризованным уравнением сжимаемого потенциала малых возмущений: [1]
вместе с граничным условием касания потока при малых возмущениях.
- число Маха набегающего потока, а компоненты вектора нормали к поверхности. Неизвестная переменная - потенциал возмущения, а полная скорость определяется ее градиентом плюс скорость набегающего потока Предполагается, что здесь .
Приведенная выше формулировка действительна только в случае применения приближения малых возмущений [2]
и вдобавок отсутствие околозвукового потока, что приблизительно констатируется требованием, чтобы локальное число Маха не превышало единицы.
Преобразование Прандтля – Глауэрта (PG) использует фактор Прандтля – Глауэрта. . Он состоит из уменьшения всех размеров y и z и угла атаки на коэффициент потенциал и компонент x нормальных векторов равенством:
Этот геометрия тогда будет иметь нормальные векторы, компоненты x которых уменьшены на из оригинальных:
Уравнение потенциала малых возмущений затем преобразуется в уравнение Лапласа:
и граничное условие касания к потоку сохраняет тот же вид.
Это задача несжимаемого потенциального потока о преобразованном геометрия. Ее можно решить методами несжимаемой жидкости, такими как теория тонких профилей, методы вихревой решетки, методы панелей и т. Д. Результатом является преобразованный потенциал возмущения или его градиентные компоненты в преобразованном пространстве. Физический линеаризованный коэффициент давления затем получается обратным преобразованием
которое известно как правило Гетерта [3]
Полученные результаты
Для двумерного потока конечный результат таков: а также коэффициенты подъемной силы и момента увеличиваются в раз :
где являются значениями расхода несжимаемой жидкости для исходной (немасштабированной)геометрия. Этот двумерный результат известен как правило Прандтля. [4]
Для трехмерных потоков эти простыемасштабирование НЕ применяется. Вместо этого необходимо работать с масштабированным геометрии, как указано выше, и используйте правило Гетерта для вычисления а затем силы и моменты. Невозможно получить простые результаты, за исключением особых случаев. Например, используя теорию подъемной линии для плоского эллиптического крыла, коэффициент подъемной силы равен
где AR - удлинение крыла. Отметим, что в двумерном случае, когда AR → ∞, это сводится к двумерному случаю, поскольку в несжимаемом двумерном потоке для плоского профилясогласно теории тонкого профиля .
Ограничения
Преобразование PG хорошо работает для всех чисел Маха набегающего потока до 0,7 или около того или после того, как начинает появляться трансзвуковой поток. [2]
История
Людвиг Прандтль некоторое время учил этому преобразованию в своих лекциях, однако первая публикация была сделана Германом Глауэртом в 1928 году . [5] Введение этой связи позволило разработать самолеты, которые могли работать в областях с более высокими дозвуковыми скоростями. [6] Первоначально все эти результаты были разработаны для двумерного потока. В конце концов в 1946 году Гетерт понял, что геометрическое искажение, вызванное преобразованием PG, делает простое двумерное правило Прандтля недействительным для трехмерного изображения, и правильно сформулировал полную трехмерную проблему, как описано выше.
Трансформация PG была расширена Якобом Аккеретом на сверхзвуковые набегающие потоки. Как и для дозвукового случая, сверхзвуковой случай действителен только в том случае, если нет околозвукового эффекта, который требует, чтобы тело было тонким, а Мах набегающего потока значительно превышал единицу.
Сингулярность
Рядом со звуковой скоростью преобразование PG имеет особенность . Сингулярность также называется сингулярностью Прандтля – Глауэрта , и расчетное сопротивление потока приближается к бесконечности. В действительности аэродинамические и термодинамические возмущения сильно усиливаются вблизи звуковой скорости, но сингулярности не возникает. Объяснение этому состоит в том, что приведенное выше линеаризованное уравнение потенциала малых возмущений неверно, так как оно предполагает, что есть только небольшие изменения числа Маха в потоке и отсутствие скачков уплотнения, и, таким образом, отсутствуют некоторые нелинейные члены. Однако они становятся актуальными, как только какая-либо часть поля потока ускоряется выше скорости звука, и становятся важными вблизи Более правильное нелинейное уравнение не обнаруживает особенности.
Смотрите также
Рекомендации
Цитаты
- ^ Kuethe & Chow 1976 , стр. 248-.
- ^ а б Шапиро 1953 .
- ^ Göthert 1946 .
- ^ Truckenbrodt 1996 , стр. 178-9.
- ^ Glauert 1928 , стр. 113–119.
- Перейти ↑ Meier 2005 .
Источники
- Göthert, BH (1940), Ebene und räumliche Strömung bei hohen Unterschallgeschwindigkeiten: Erweiterung der Prandtl'schen Regel [ Плоский и трехмерный поток на высоких дозвуковых скоростях: Расширение правила Прандтля ] (на немецком языке), Берлин: Berwe.
- Глауэрт, Х. (1928). «Влияние сжимаемости на подъем аэродинамического профиля» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 118 (779): 113–119. Bibcode : 1928RSPSA.118..113G . DOI : 10.1098 / RSPA.1928.0039 . ISSN 1364-5021 .
- Кюете, Арнольд Мартин; Чоу, Чуэн-Йен (1976). Основы аэродинамики: основы аэродинамического дизайна . Вайли. ISBN 978-0-471-50953-0.
- Мейер, Х.-У. (2005), «Die Entwicklung des Pfeilflügels, eine technische Herausforderung» [Эволюция стреловидного крыла, техническая задача] (PDF) , мемориальная лекция Людвига Прандтля, GAMM 2005, 28 марта - 1 апреля 2005 г. (на немецком языке), Университет Люксембурга
- Шапиро, Ашер Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости . Vol. 1. Wiley. ISBN 9780471066910.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Тракенбродт, Эрих (1996). Fluidmechanik [ Гидромеханика ] (на немецком языке). Vol. 2 (4-е изд.). Springer Verlag.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка )