Константы первичной линии

Телефонный кабель, содержащий несколько линий витой пары

Константы первичной линии - это параметры, которые описывают характеристики проводящих линий передачи, таких как пары медных проводов, с точки зрения физических электрических свойств линии. Константы первичной линии относятся только к линиям передачи и должны быть противопоставлены константам вторичной линии , которые могут быть получены из них и более широко применимы. Константы вторичной линии могут использоваться, например, для сравнения характеристик волновода с медной линией, в то время как первичные константы не имеют значения для волновода.

Константы - это сопротивление и индуктивность проводника, а также емкость и проводимость изолятора, которые условно обозначаются символами R , L , C и G соответственно. Константы нумеруются в единицах длины. Представление схемы этих элементов требует модели распределенных элементов и , следовательно , исчисление должно быть использовано для анализа схемы. Анализ дает систему двух одновременных линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, которые могут быть объединены для получения вторичных констант характеристического импеданса и постоянной распространения .

У ряда частных случаев есть особенно простые решения и важные практические приложения. Кабель с низкими потерями требует, чтобы в анализ были включены только L и C , что полезно для коротких отрезков кабеля. Низкие частоты приложения, такие как витая пара телефонных линий, преобладают R и C только. Высокие частоты приложения, такие как РЧ коаксиальным кабелем , преобладают L и C . Линии, загруженные для предотвращения искажений, требуют анализа всех четырех элементов, но имеют простое и элегантное решение.

Константы [ править ]

Существует четыре константы первичной линии, но в некоторых случаях некоторые из них достаточно малы, чтобы их можно было игнорировать, и анализ можно упростить. Эти четыре, а также их символы и единицы следующие:

R и L - это элементы, включенные последовательно с линией (поскольку они являются свойствами проводника), а C и G - элементы, шунтирующие линию (поскольку они являются свойствами диэлектрического материала между проводниками). G представляет собой ток утечки через диэлектрик и в большинстве кабелей очень мал. Слово петля используется, чтобы подчеркнуть, что необходимо учитывать сопротивление и индуктивность обоих проводников. Например, если линия состоит из двух одинаковых проводов с сопротивлением 25 мОм / м каждый, петлясопротивление вдвое больше, 50 мОм / м. Поскольку значения констант довольно малы, производители обычно указывают их на километр, а не на метр; в англоязычном мире также можно использовать "за милю". ^{[1] [2]}

Слово «постоянный» может ввести в заблуждение. Это означает, что они материальные константы; но они могут меняться в зависимости от частоты. В частности, на R сильно влияет скин-эффект . Кроме того, хотя G практически не влияет на звуковую частоту , он может вызывать заметные потери на высоких частотах со многими диэлектрическими материалами, используемыми в кабелях, из-за высокого тангенса угла потерь . Отсутствие потерь, вызванных перегрузкой, является причиной того, что многие кабели, предназначенные для использования в УВЧ, имеют воздушную или пенопластовую изоляцию (что делает их практически воздушно изолированными). ^[3]Фактическое значение константы в этом контексте состоит в том, что параметр постоянен с расстоянием . То есть линия считается однородной по длине. Это условие верно для подавляющего большинства используемых сегодня линий электропередачи. ^[4]

Типичные значения для некоторых распространенных кабелей [ править ]

† Производители обычно не указывают значение индуктивности в своих технических паспортах. Некоторые из этих значений рассчитаны на основе значений емкости и характеристического сопротивления на .${\ Displaystyle \ scriptstyle {Z_ {0}} ^ {2} = L / C}$

Представление схемы [ править ]

Постоянные линии не могут быть просто представлены как сосредоточенные элементы в схеме; они должны быть описаны как распределенные элементы . Например, «кусочки» емкости находятся между «частями» сопротивления. На сколько бы частей ни были разбиты R и C , всегда можно утверждать, что они должны быть дополнительно разбиты, чтобы правильно представить схему, и после каждого деления количество ячеек в схеме увеличивается. Это схематически показано на рисунке 1. Чтобы дать истинное представление о схеме, элементы должны быть бесконечно малыми, чтобы каждый элемент был распределен по линии. Бесконечно малые элементы на бесконечно малом расстоянии${\ displaystyle \ scriptstyle dx}$даются; ^[14]

${\ displaystyle dL = \ lim _ {\ delta x \ to 0} (L \ delta x) = Ldx}$ 

${\ displaystyle dR = \ lim _ {\ delta x \ to 0} (R \ delta x) = Rdx}$ 

${\ displaystyle dC = \ lim _ {\ delta x \ to 0} (C \ delta x) = Cdx}$ 

${\ displaystyle dG = \ lim _ {\ delta x \ to 0} (G \ delta x) = Gdx}$ 

Это удобно для целей анализа свернуть эти элементы в общую серии импеданс , Z , и шунтирующий допуск , Y элементов, что;

${\ Displaystyle dZ = (р + я \ омега L) dx = Zdx \ ,,}$  и,

${\ Displaystyle dY = (G + я \ омега C) dx = Ydx \ ,.}$

Анализ этой сети (рисунок 2) будет давать постоянные вторичные линии: на постоянное распространение , , (чья действительные и мнимые части , являются постоянным затухание , и постоянное изменения фазы , соответственно) и характеристический импеданс , , который также, в общее, будет иметь действительную и мнимую части, что в сумме дает четыре вторичных константы, которые должны быть получены из четырех первичных констант. Термин «константа» еще больше вводит в заблуждение для вторичных констант, поскольку они обычно довольно сильно изменяются с частотой, даже в идеальной ситуации, когда первичные константы этого не делают. Это потому, что реактивные сопротивления в цепи (${\ Displaystyle \ scriptstyle \ gamma}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ alpha}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ beta}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$${\ displaystyle \ scriptstyle R_ {0}}$${\ displaystyle \ scriptstyle X_ {0}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega L}$и ) ввести зависимость от . Можно выбрать конкретные значения первичных констант, которые приводят к ( условию Хевисайда ) и не зависят от него, но даже в этом случае все еще есть значение, которое прямо пропорционально . Как и в случае с первичными константами, значение «константы» состоит в том, что вторичные константы не меняются с расстоянием вдоль линии, а не потому, что они не зависят от частоты. ^{[14] [15] [16]}${\ Displaystyle \ scriptstyle 1 / (\ omega C)}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ alpha}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ beta}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}$

Характеристический импеданс [ править ]

Характеристический импеданс линии передачи, определяется как импеданс, смотрящий на бесконечно длинную линию. Такая линия никогда не вернет отражение, поскольку падающая волна никогда не достигнет конца, чтобы отразиться. Если учесть конечную длину линии, оставшуюся часть линии можно заменить эквивалентной схемой. Это так, потому что оставшаяся часть строки все еще бесконечно длинная и, следовательно, эквивалентна исходной строке. Если конечный сегмент очень короткий, то в эквивалентной схеме он будет моделироваться L-сетью, состоящей из одного элемента и одного из ; остаток равен . В результате получается сеть, показанная на рисунке 3, которую можно проанализировать с помощью обычного сетевого анализа.${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0}}$${\displaystyle \scriptstyle dZ}$${\displaystyle \scriptstyle dY}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$теоремы, ^{[17] [18]}

${\displaystyle Z_{0}=\delta Z+{\frac {Z_{0}}{1+Z_{0}\delta Y}}}$

который перестраивается,

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z={\frac {\delta Z}{\delta Y}}}$

Принимая пределы обеих сторон

${\displaystyle \lim _{\delta x\to 0}({Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z)={Z_{0}}^{2}={\frac {dZ}{dY}}}$

и поскольку линия предполагалась однородной по длине,

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

Константа распространения [ править ]

Отношение входного линейного напряжения к напряжению на расстоянии дальше по линии (то есть после одного участка эквивалентной схемы) определяется стандартным расчетом делителя напряжения . Остальная часть линии справа, как и при расчете характеристического импеданса, заменяется на , ^{[19] [20]}${\displaystyle \scriptstyle \delta x}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x1}}}={\frac {\delta Z+{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}=1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y}$

Каждая бесконечно малая секция умножает падение напряжения на один и тот же коэффициент. После разделов соотношение напряжений будет,${\displaystyle \scriptstyle n}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{n}}$

На расстоянии по линии количество участков таково, что,${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle x/\delta x}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

В пределе as ,${\displaystyle \scriptstyle \delta x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

Член второго порядка исчезнет в пределе, поэтому мы можем записать без потери точности:${\displaystyle \scriptstyle \delta Z\delta Y}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

и сравнивая с математическим тождеством,

${\displaystyle e^{x}\equiv \lim _{p\to \infty }(1+1/p)^{px}}$

урожайность,

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{{\frac {Z}{Z_{0}}}x}}$

Из определения постоянная распространения ,

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{\gamma x}\,\!}$

Следовательно,

${\displaystyle \gamma ={\frac {Z}{Z_{0}}}={\sqrt {ZY}}}$

Особые случаи [ править ]

Идеальная линия передачи [ править ]

Идеальная линия передачи не будет иметь потерь, что означает, что резистивные элементы равны нулю. Это также дает чисто реальный (резистивный) характеристический импеданс. Идеальная линия не может быть реализована на практике, но во многих случаях это полезное приближение. Это особенно верно, например, когда короткие отрезки линии используются в качестве компонентов схемы, таких как шлейфы . Короткая линия имеет очень небольшие потери, поэтому ее можно игнорировать и рассматривать как идеальную линию. Вторичные константы в этих обстоятельствах: ^[21]

${\displaystyle \gamma =i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha =0\,}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Витая пара [ править ]

Как правило, витая пара кабель используется для звуковых частот или низких скоростей передачи данных имеет постоянные линии преобладают R и C . На этих частотах диэлектрические потери обычно незначительны, а G близка к нулю. Также бывает, что при достаточно низкой частоте, что означает, что L также можно игнорировать. В этих условиях вторичные константы становятся, ^[22]${\displaystyle \scriptstyle R\gg \omega L}$

${\displaystyle \gamma \approx {\sqrt {i\omega CR}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle \beta \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {R}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}-i{\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}}$

Затухание этого типа кабеля увеличивается с увеличением частоты, вызывая искажение формы сигнала. Не так очевидно, изменение частоты также вызывает искажение типа, называемого дисперсией . Чтобы избежать разброса, требуется, чтобы величина прямо пропорциональна . Однако на самом деле это пропорционально результатам дисперсии. также зависит от частоты и частично является реактивным; обе эти особенности будут причиной отражений от резистивной оконечной нагрузки. Это еще один нежелательный эффект. Номинальное сопротивление цитируемый для данного типа кабеля, в данном случае, очень номинальной, являющийся действительным только в одной фиксированной частоте, обычно указывается при 800 Гц или 1 кГц. ^[23]${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \omega }$${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\omega }}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$^[24]

Коаксиальный кабель [ править ]

Кабель, работающий на достаточно высокой частоте (УКВ радиочастота или высокие скорости передачи данных), будет соответствовать условиям и . В конечном итоге это должно произойти, поскольку частота для любого кабеля увеличивается. В этих условиях R и G могут игнорироваться (за исключением целей расчета потерь в кабеле), и вторичные константы становятся; ^[25]${\displaystyle \scriptstyle R\ll \omega L}$${\displaystyle \scriptstyle G\ll \omega C}$

${\displaystyle \gamma \approx i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {LG+RC}{2{\sqrt {LC}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{0}G+{\frac {R}{Z_{0}}}\right)\approx {\frac {R}{2Z_{0}}}}$

${\displaystyle \beta \approx \omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Загруженная строка [ править ]

Линии с нагрузкой - это линии, разработанные с намеренно увеличенной индуктивностью. Для этого в кабель добавляют железо или другой магнитный металл или катушки. Цель состоит в том, чтобы гарантировать, что линия соответствует условию Хевисайда , которое устраняет искажения, вызванные частотно-зависимым затуханием и дисперсией, и обеспечивает постоянство и сопротивление. Вторичные константы здесь связаны с первичными константами следующим образом: ^[26]${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {RG}}+i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {R}{G}}}}$

Скорость [ править ]

Скорость распространения определяется выражением

${\displaystyle v=\lambda f.}$

С,

${\displaystyle \omega =2\pi f}$ и ${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

тогда,

${\displaystyle v={\frac {\omega }{\beta }}.}$

В случаях, когда β можно принять как,

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

скорость распространения определяется выражением,

${\displaystyle v={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

Чем ниже емкость, тем выше скорость. При использовании кабеля с воздушным диэлектриком, который приближается к кабелю с малыми потерями, скорость распространения очень близка к c , скорости света в вакууме . ^[27]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ф. Р. Коннор, Передача волн , Эдвард Арнольд Ltd., 1972 ISBN  0-7131-3278-7 .
• Джон Берд, Теория и технология электрических цепей , Newnes, 2007 ISBN 0-7506-8139-X . 
• Ян Хикман, Analog Electronics , Newnes, 1999 ISBN 0-7506-4416-8 . 
• Фред Поргес, Дизайн электрических служб для зданий , Тейлор и Фрэнсис, 1989 ISBN 0-419-14590-7 .