Постоянная распространения

Постоянная распространения синусоидальной электромагнитной волны является мерой изменения амплитуды и фазы волны при ее распространении в заданном направлении. Измеряемая величина может быть напряжением , током в цепи или вектором поля, таким как напряженность электрического поля или плотность потока . Константа распространения сама по себе измеряет изменение на единицу длины , но в остальном она безразмерна. В контексте двухпортовых сетей и их каскадов постоянная распространенияизмеряет изменение, которому подвергается исходная величина, когда она распространяется от одного порта к другому.

Значение постоянной распространения выражается логарифмически , почти универсально с основанием e , а не с более обычным основанием 10, которое используется в телекоммуникациях в других ситуациях. Измеряемая величина, такая как напряжение, выражается синусоидальным вектором . Фаза синусоиды изменяется с расстоянием, в результате чего постоянная распространения является комплексным числом , а мнимая часть обусловлена ​​изменением фазы.

Альтернативные названия [ править ]

Термин «постоянная распространения» употребляется неправильно, поскольку обычно сильно зависит от ω . Вероятно, это наиболее широко используемый термин, но существует множество альтернативных названий, используемых разными авторами для этого количества. Они включают в себя параметр передачи , функции передачи , параметр распространения , коэффициент распространения и постоянной передачи . Если множественное число используются, можно предположить , что & alpha ; и β в настоящее время ссылается по отдельности , но все вместе , как в параметрах передачи , параметры распространения и т.п. В теории линий передачи, & alpha ;и β подсчитываются среди «вторичных коэффициентов», причем термин вторичный используется для контраста с коэффициентами первичной линии . Первичные коэффициенты - это физические свойства линии, а именно R, C, L и G, из которых вторичные коэффициенты могут быть получены с использованием уравнения телеграфиста . Обратите внимание, что в области линий передачи термин « коэффициент передачи» имеет другое значение, несмотря на схожесть названий: это компаньон коэффициента отражения .

Определение [ править ]

Постоянная распространения, символ , для данной системы определяется отношением комплексной амплитуды в источнике волны к комплексной амплитуде на некотором расстоянии x , так что,${\displaystyle {\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}}$

Поскольку постоянная распространения является сложной величиной, мы можем написать:

$${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \,}$$

где

• α , действительная часть, называется постоянной затухания.
• β , мнимая часть, называется фазовой постоянной

То, что β действительно представляет фазу, можно увидеть из формулы Эйлера :

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\,\!}$

которая является синусоидой, которая изменяется по фазе при изменении θ, но не меняется по амплитуде, потому что

${\displaystyle \left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }}}=1}$

Причина использования основания e также теперь ясна. Мнимая фазовая константа iβ может быть добавлена ​​непосредственно к константе затухания α , чтобы сформировать единое комплексное число, которое можно обработать одной математической операцией при условии, что они имеют одинаковое основание. Для углов, измеряемых в радианах, требуется основание e , поэтому затухание также будет в основании e .

Постоянная распространения для медных (или любых других проводников) линий может быть рассчитана из коэффициентов первичной линии с помощью соотношения

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {ZY}}}$

где

${\displaystyle Z=R+i\omega L\,\!}$, последовательное сопротивление линии на единицу длины и,

${\displaystyle Y=G+i\omega C\,\!}$- шунтирующая проводимость линии на единицу длины.

Плоская волна [ править ]

Коэффициент распространения плоской волны, распространяющейся в линейной среде в направлении x, определяется выражением

${\displaystyle P=e^{-\gamma x}}$

где

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\sqrt {i\omega \mu (\sigma +i\omega \epsilon )}}\;}$^{[1] : 126}

${\displaystyle x=}$ пройденное расстояние в направлении x

${\displaystyle \alpha =}$ константа затухания в непер / метр

${\displaystyle \beta =}$ фазовая постоянная в радианах на метр

${\displaystyle \omega =}$ частота в радианах в секунду

${\displaystyle \sigma =}$ проводимость среды

${\displaystyle \epsilon =\epsilon '-i\epsilon ''\;}$= комплексная диэлектрическая проницаемость среды

${\displaystyle \mu =\mu '-i\mu ''\;}$= комплексная проницаемость среды

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Знаковое соглашение выбрано для согласованности с распространением в среде с потерями. Если константа затухания положительна, амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x.

Длина волны , фазовая скорость и толщина скин-слоя имеют простые отношения с компонентами постоянной распространения:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}}$

Константа затухания [ править ]

В телекоммуникациях термин постоянная затухания , также называемая параметром затухания или коэффициентом затухания , означает затухание электромагнитной волны, распространяющейся через среду на единицу расстояния от источника. Это действительная часть постоянной распространения, измеряемая в неперсах на метр. Непер составляет примерно 8,7  дБ . Константа затухания может быть определена отношением амплитуд

${\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}$

Константа распространения на единицу длины определяется как натуральный логарифм отношения тока или напряжения на передающей стороне к току или напряжению на принимающей стороне.

Медные линии [ править ]

Константу затухания для медных проводов (или проводов, сделанных из любого другого проводника) можно рассчитать из коэффициентов первичной линии, как показано выше. Для линии, удовлетворяющей условию отсутствия искажений , с проводимостью G в изоляторе, постоянная затухания определяется выражением

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}\,\!}$

однако реальная линия вряд ли будет соответствовать этому условию без добавления нагрузочных катушек, и, кроме того, существуют некоторые частотно-зависимые эффекты, действующие на первичные «константы», которые вызывают частотную зависимость потерь. У этих потерь есть два основных компонента: потери металла и диэлектрические потери.

В потерях большинства линий передачи преобладают потери металла, которые вызывают частотную зависимость из-за конечной проводимости металлов и скин-эффект внутри проводника. Скин-эффект приводит к тому, что R вдоль проводника приблизительно зависит от частоты в соответствии с

${\displaystyle R\propto {\sqrt {\omega }}}$

Потери в диэлектрике зависят от тангенса угла потерь (tan  δ ) материала, деленного на длину волны сигнала. Таким образом, они прямо пропорциональны частоте.

${\displaystyle \alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \over {\lambda }}{\tan \delta }}$

Оптическое волокно [ править ]

Константа затухания для конкретной моды распространения в оптическом волокне является действительной частью постоянной осевого распространения.

Фазовая постоянная [ править ]

В электромагнитной теории , то постоянная фаза , называемые также изменение фазы постоянная , параметром или коэффициентом является мнимой составляющей постоянная распространения для плоской волны. Она представляет собой изменение фазы на единицу длину вдоль пути , проходимого волны в любой момент времени и равна действительная часть от угловых волновой волны. Он обозначается символом β и измеряется в радианах на единицу длины.

Из определения (углового) волнового числа для ТЕМ-волн в среде без потерь:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }$

Для линии передачи , то условие Heaviside из уравнения телеграфного говорит нам о том , что волновое число должно быть пропорционально частотой для передачи волны не искажаются в области времени . Это включает, но не ограничивается, идеальный случай линии без потерь. Причину этого состояния можно увидеть, если учесть, что полезный сигнал состоит из множества длин волн в частотной области. Чтобы не было искажения формы волны , все эти волны должны распространяться с одинаковой скоростью, чтобы они достигли дальнего конца линии одновременно с группой . Поскольку фазовая скорость волны определяется выражением

${\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}$

доказано, что β требуется, чтобы оно было пропорционально ω . В терминах первичных коэффициентов линии это дает из уравнения телеграфа для линии без искажений условие

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}$

где L и C - соответственно индуктивность и емкость на единицу длины линии. Однако можно ожидать, что практические линии будут только приблизительно соответствовать этому условию в ограниченной полосе частот.

В частности, фазовая постоянная не всегда эквивалентна волновому числу . Вообще говоря, следующее соотношение${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta =k}$

Подходит для ТЕМ- волны (поперечной электромагнитной волны), которая распространяется в свободном пространстве, или для ТЕМ-устройств, таких как коаксиальный кабель и две параллельные проводные линии передачи . Тем не менее, это недействительно для TE- волны (поперечной электрической волны) и TM- волны (поперечной магнитной волны). Например, ^[2] в полом волноводе, где ТЕМ-волна не может существовать, но ТЕ- и ТМ-волны могут распространяться,

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

${\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

Вот это частота среза . В прямоугольном волноводе частота отсечки равна${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

где целые числа - это номера мод, а a и b - длины сторон прямоугольника. Для режимов TE (но не разрешено), а для режимов TM . Фазовая скорость равна${\displaystyle n,m\geq 0}$${\displaystyle n,m\geq 0}$${\displaystyle n=m=0}$${\displaystyle n,m\geq 1}$

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}$

Постоянная фаза также является важным понятием в квантовой механике , так как импульс из кванта прямо пропорциональна его, ^{[3] [4]} т.е.${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=\hbar \beta }$

где ħ называется приведенной постоянной Планка (произносится как «h-бар»). Он равен постоянной Планка, деленной на 2 π .

Фильтры и двухпортовые сети [ править ]

Термин постоянная распространения или функция распространения применяется к фильтрам и другим двухпортовым сетям, используемым для обработки сигналов . Однако в этих случаях коэффициенты затухания и фазы выражаются в неперсах и радианах на участок сети, а не на единицу длины. Некоторые авторы ^[5] проводят различие между мерами на единицу длины (для которых используется «константа») и мерами по разделам (для которых используется «функция»).

Константа распространения - полезная концепция при проектировании фильтров, которые неизменно используют топологию каскадных секций . В каскадной топологии постоянная распространения, постоянная затухания и фазовая постоянная отдельных секций могут быть просто сложены, чтобы найти общую постоянную распространения и т. Д.

Каскадные сети [ править ]

Отношение выходного напряжения к входному для каждой сети определяется выражением ^[6].

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}$

Эти термины представляют собой термины масштабирования импеданса ^[7], и их использование объясняется в статье о импедансе изображения .${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}$

Общий коэффициент напряжения определяется выражением

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}$

Таким образом, для n каскадных секций, каждая из которых имеет совпадающие сопротивления, обращенные друг к другу, общая постоянная распространения определяется выражением

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}$

См. Также [ править ]

Понятие глубины проникновения - один из многих способов описания поглощения электромагнитных волн. О других и их взаимосвязи см. В статье: Математические описания непрозрачности .

• Скорость распространения

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Постоянная распространения» . Микроволновая энциклопедия. 2011. Архивировано из оригинала (онлайн) 14 июля 2014 года . Проверено 2 февраля 2011 года .
• Пашотта, доктор Рюдигер (2011). «Постоянная распространения» (Интернет) . Энциклопедия лазерной физики и техники . Проверено 2 февраля 2011 года .
• Janezic, Майкл Д .; Джеффри А. Жаргон (февраль 1999 г.). «Комплексное определение диэлектрической проницаемости по измерениям постоянной распространения» (PDF) . IEEE Микроволновые и Волноводные Письма . 9 (2): 76–78. DOI : 10.1109 / 75.755052 . Проверено 2 февраля 2011 года .Доступна бесплатная загрузка в формате PDF. Есть обновленная версия от 6 августа 2002 года.