В контракте мосте , то принцип ограниченного выбора гласит , что игра конкретной карты снижает вероятность его игрок держит любую эквивалентную карту. Например, Юг ведет низкую пику, Запад играет низкую, Север играет королевой, Восток побеждает королем. Туз и король - равнозначные карты; Игра Востока короля уменьшает вероятность того, что у Востока есть туз, и увеличивает вероятность того, что у Запада есть туз. Этот принцип помогает другим игрокам сделать вывод о местонахождении ненаблюдаемых эквивалентных карт, таких как пиковый туз, после наблюдения за королем. Увеличение или уменьшение вероятности является примером байесовского обновления по мере накопления доказательств, а конкретные приложения с ограниченным выбором похожи на проблему Монти Холла..
Джефф Рубенс (1964, 457) сформулировал принцип следующим образом: «Игра картой, которая могла быть выбрана как выбор равных ходов, увеличивает шанс того, что игрок начал с руки, в которой его выбор был ограничен». Что особенно важно, это помогает играть «в ситуациях, которые раньше считались догадками». Во многих из этих ситуаций правило, вытекающее из этого принципа, состоит в том, чтобы играть на раздельные почести . После просмотра одной эквивалентной карты, то есть следует продолжить игру, как если бы два эквивалента были разделены между противостоящими игроками, чтобы не было выбора, какую из них играть. Тот, кто играл первым, не имеет другого.
Когда количество эквивалентных карт больше двух, принцип усложняется, поскольку их эквивалентность может не проявляться. Когда у одного партнера, скажем, Q и ♣ 10, а у другого J, обычно верно, что эти три карты эквивалентны, но тот, у кого есть две из них, не знает об этом. Ограниченный выбор всегда вводится в терминах двух соприкасающихся карт - последовательных рангов одной масти, например, ♥ QJ или ♦ KQ - где эквивалентность очевидна.
Если нет причин предпочитать определенную карту (например, чтобы подать сигнал партнеру), игроку, имеющему две или более эквивалентных карт, иногда следует случайным образом изменять порядок игры (см. Примечание о равновесии по Нэшу). Вычисления вероятностей в покрытии ограниченного выбора часто принимают равномерную рандомизацию как должное, но это проблематично.
Принцип ограниченного выбора применяется даже к выбору оппонентом начального хода из эквивалентных мастей. См. Kelsey & Glauert (1980).
Пример
Рассмотрим комбинацию мастей, представленную на рисунке. Есть четыре лопата карты ♠ 8754 на юге (закрытая рука) и пять ♠ AJ1096 на севере (манекене, видимая для всех игроков). Запад и Восток держат оставшиеся четыре пики ♠ KQ32 в двух закрытых руках.
♠ А Дж 10 9 6 |
♠ 8 7 5 4 |
Юг ведет небольшая лопата, Запад играет ♠ 2 (или ♠ 3), фиктивный North играет ♠ J, и Восток побеждает с ♠ К. Позже, после победы бок костюм трюк, Юг приводит еще одну небольшую лопату и Запад следует низкое с ♠ 3 (или ♠ 2). На данный момент, поскольку Север и Восток еще не сыграны, местоположение только ♠ Q не установлено. Что лучше играть манекена ♠ A, в надежде сбросить ♠ Q с Востока, или утонченность снова с ♠ 10, в надежде сбросить ♠ Q с Запада на третьем круге костюма? То есть, должен ли разыгрывающий играть так, чтобы исходные карты защитников составляли 32 и KQ или Q32 и K? Принцип ограниченного выбора объясняет , почему последний теперь в два раза чаще, так что утонченность, играя ♠ 10 почти в два раза больше шансов на успех.
2-2 Сплит | 3-1 Сплит | Сплит 4: 0 | |||
---|---|---|---|---|---|
Запад | Восток | Запад | Восток | Запад | Восток |
KQ | 32 | KQ3 | 2 | KQ32 | - |
K3 | 2 квартал | KQ2 | 3 | - | KQ32 |
K2 | 3 квартал | K32 | Q | ||
3 квартал | K2 | Q32 | K | ||
2 квартал | K3 | K | Q32 | ||
32 | KQ | Q | K32 | ||
3 | KQ2 | ||||
2 | KQ3 |
Перед игрой с точки зрения Юга возможны 16 возможных владений лопатой на западе и востоке или "ложь". Они перечислены слева, отсортированные сначала по «разделению» от равного на неравное количество карт, а затем по размеру запаса Уэста от самого сильного к самому слабому.
После того, как Запад следует за второй пикой, что является моментом решения, упомянутым выше, только две из 16 оригинальных лжи остаются возможными (жирным шрифтом), поскольку Запад сыграл обе младшие карты, а Восток - король. На первый взгляд может показаться, что теперь шансы равны 1: 1, так что Юг должен рассчитывать на то, что преуспеет в любом из двух возможных продолжений.
Однако, это не так , потому что , если Восток был ♠ KQ, он может одинаково хорошо играл королеву вместо короля. Таким образом, некоторые сделки с исходной ложью 32 и KQ не достигли этой стадии; вместо этого они достигли бы параллельной стадии с отсутствием только ♠ K, Юг наблюдал 32 и Q. Напротив, каждая сделка с исходной ложью Q32 и K доходила до этой стадии, поскольку Восток играл короля волей-неволей (без выбора или "ограниченно"). выбор").
Если Восток выиграет первую взятку с королем или ферзем, равномерно случайным образом из ♠ KQ, то исходная ложь 32 и KQ достигнет этой стадии в половине случаев и в половине случаев выберет другую развилку. Таким образом, в реальной последовательности игры шансы не равны, а равны половине к одному или 1: 2. Восток сохранил бы королеву от оригинального ♠ KQ около одной трети времени и не остается никаких лопат от оригинального ♠ K около двух третей времени.
Важно отметить, что это предполагает, что у защитников нет системы сигналов, так что игра к западу от (скажем) тройки, за которой следует двойка, не сигнализирует о дуплтоне. В ходе многих равнозначных раздач Восток с ♠ KQ теоретически должен выиграть первую взятку с королем или ферзем, равномерно случайным образом; то есть по половине без рисунка. [1]
Лучший расчет шансов
Это попытка более точного расчета шансов, как объяснялось в предыдущем разделе.
Априори четыре невыполненных карты «разделяются», как показано в первых двух столбцах таблицы. Например, три карты вместе, а четвертая - одна, «раскол 3-1» с вероятностью 49,74%. Чтобы понять «количество конкретной лжи», обратитесь к предыдущему списку всей лжи.
Расколоть | Вероятность раскола | Количество конкретной лжи | Вероятность конкретной лжи |
---|---|---|---|
2-2 | 40,70% | 6 | 6,78% |
3-1 | 49,74% | 8 | 6,22% |
4-0 | 9,57% | 2 | 4,78% |
Последний столбец дает априорную вероятность любой конкретной исходной карты, такой как 32 и KQ; этот представлен первой строкой, охватывающей разделение 2–2. Другая ложь, показанная в нашем примере игры пиковой масти, Q32 и K, представлена вторым рядом, охватывающим раскол 3–1.
Таким образом, таблица показывает , что априорные шансы на этих двух конкретных лжи даже не были , но немного в пользу первых, о 6,78 до 6,22 для ♠ KQ против ♠ К.
Каковы шансы апостериори в момент истины в нашем примере игры пиковой масти? Если Восток с ♠ KQ выигрывает первую взятку равномерно случайным образом с королем или ферзем - и с ♠ K выигрывает первую взятку с королем, не имея выбора, - апостериорные шансы составляют 3,39 к 6,22, что немного больше 1: 2, в процентном отношении чуть более 35% для ♠ KQ. Чтобы разыграть туз ♠ A с севера во втором раунде, вы должны выиграть около 35%, в то время как снова с десяткой ♠ 10 выиграйте около 65%.
Принцип ограниченного выбора является общим, но этот конкретный расчет вероятности предполагает, что Восток выиграет с королем с ♠ KQ ровно в половине случаев (что лучше всего). Если Восток выиграет с королем с ♠ KQ более или менее в половине случаев, то Юг выиграет более или менее 35%, играя тузом. Действительно, если Восток выигрывал с королем в 92% случаев (= 6,22 / 6,78), то Юг выигрывал 50%, играя тузом, и 50%, повторяя хитрость. Однако, если это правда, Юг выигрывает почти на 100%, повторяя хитрость после того, как Восток выигрывает с королевой - поскольку королева с Востока почти отрицает короля.
Еще лучше
Более полное рассмотрение будет рассматривать все варианты выбора, а не только выбор старшей карты из двух равных. В костюме примера лопат, выбор низкой карты Вест от ♠ 32 и от ♠ Q32 должен быть включен. 2 и 3 являются явно эквивалентными картами, которые Запад должен разыграть одинаково случайным образом из обеих исходных рук, то есть случайным образом в первых двух взятках , всегда сохраняя ферзя из ♠ Q32. Предыдущий расчет вероятности зависит от того, что сделает это Уэст.
Математическая теория
Принцип ограниченного выбора - это приложение теоремы Байеса . Kp - король, которого Восток сыграл в первой взятке. KQ - у востока есть KQ, у K - у востока K.
Первые 2 уравнения - это теорема Байеса , остальные - простая алгебра. Обратите внимание, что P (Kp | KQ) равно 0,5, потому что мы предположили, что Восток играет короля или ферзя с равной вероятностью, когда у него есть выбор.
Увеличение и уменьшение вероятности первоначальной лжи противоположных карт по мере развития розыгрыша руки являются примерами байесовского обновления по мере накопления свидетельств.
Смотрите также
Заметки
- ^ Это должно быть в смысле равновесия по Нэшу . Теория Нэша предполагает, что оппоненты могут наблюдать любые закономерности и использовать их в своих интересах. Урок хорошо известен специалистам по бриджу, и его применение в таких пьесах принято. Что касается примера с тузом и королем в первом абзаце, Рубенс (1964, 457) предполагает, что «Восток будет играть равные почести с равной частотой ... Можно показать, что это, по сути, лучшая стратегия Востока». См. Также смешанную стратегию в комбинациях мастей.
дальнейшее чтение
- Келси, Хью ; Глауэрт, Майкл (1980). Коэффициенты бриджа для практичных игроков . Серия Мастер-Бридж. Лондон: Victor Gollancz Ltd совместно с Питером Кроули. С. 92–116. ISBN 0-575-02799-1.
- Фрей, Ричард Л .; Траскотт, Алан Ф. , ред. (1964). Официальная энциклопедия моста (1-е изд.). Нью-Йорк: Crown Publishers, Inc., стр. 381-385. LCCN 64023817 .Статья об ограниченном выборе была создана Джеффом Рубенсом в первой энциклопедии (издание 1964 года). В этом и последующих изданиях (например, на странице 381 6-го издания) Рубенс заявляет, что Риз в своей книге Master Play «унифицировал» «основные принципы ... впервые обсужденные Аланом Траскоттом в Contract Bridge Journal »; он не называет дату статьи Траскотта.
- Риз, Теренс (1958). Экспертная игра . Лондон: Edward Arnold (Publishers) Ltd. ISBN 0-575-02799-1.Опубликовано в США в 1960 году как Master Play . Джордж Коффин (Уолтем, Массачусетс).