Интегральное преобразование вероятности

Было предложено объединить эту статью с обратным преобразованием выборки . ( Обсудить ) Предлагается с декабря 2020 года.

В теории вероятности , то вероятность интегрального преобразования (также известный как универсальность равномерной ) относится к тому , что значения данных, которые моделируются как случайные величины из любого заданного непрерывного распределения могут быть преобразованы в случайных величин , имеющих стандартное распределение равномерное . ^[1] Это верно при условии, что используемое распределение является истинным распределением случайных величин; если распределение соответствует данным, результат будет сохраняться приблизительно в больших выборках.

Результат иногда модифицируется или расширяется, так что результатом преобразования является стандартное распределение, отличное от равномерного распределения, например экспоненциальное распределение .

Приложения [ править ]

Одним из применений интегрального преобразования вероятности в статистическом анализе данных является обеспечение основы для проверки того, можно ли разумно моделировать набор наблюдений как возникающий из заданного распределения. В частности, интегральное преобразование вероятности применяется для построения эквивалентного набора значений, а затем выполняется проверка того, подходит ли равномерное распределение для созданного набора данных. Примеры тому - графики PP и тесты Колмогорова-Смирнова .

Второй вариант использования преобразования связан с теорией связок, которые являются средством как определения, так и работы с распределениями для статистически зависимых многомерных данных. Здесь задача определения или управления совместным распределением вероятностей для набора случайных величин упрощается или сокращается в кажущейся сложности за счет применения интегрального преобразования вероятности к каждому из компонентов, а затем работы с совместным распределением, для которого маргинальные переменные имеют равномерные распределения .

Третье использование основано на применении обратного преобразования интеграла вероятности для преобразования случайных величин из равномерного распределения в выбранное распределение: это известно как выборка с обратным преобразованием .

Заявление [ править ]

Предположим , что случайная величина Х имеет непрерывное распределение , для которого интегральная функция распределения (CDF) , является Р _Х . Тогда случайная величина Y, определенная как

${\ Displaystyle Y = F_ {X} (X) \ ,,}$

имеет стандартное равномерное распределение . ^[1]

Доказательство [ править ]

Для любой случайной непрерывной переменной определите . Потом:${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Y = F_ {X} (X)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} F_ {Y} (y) & = \ OperatorName {P} (Y \ leq y) \\ & = \ OperatorName {P} (F_ {X} (X) \ leq y) \\ & = \ operatorname {P} (X \ leq F_ {X} ^ {- 1} (y)) \\ & = F_ {X} (F_ {X} ^ {- 1} (y)) \\ & = y \ end {выровнено}}}$

${\ displaystyle F_ {Y}}$это просто CDF случайной величины. Таким образом, имеет равномерное распределение на интервале .${\ Displaystyle \ mathrm {Униформа} (0,1)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle [0,1]}$

Примеры [ править ]

В качестве наглядного примера пусть X - случайная величина со стандартным нормальным распределением . Тогда его CDF равен${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)}$

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\,}$

где - функция ошибок . Тогда новая случайная величина Y , определяемая как Y = Φ ( X ), равномерно распределена.${\displaystyle \operatorname {erf} (),}$

Если X имеет экспоненциальное распределение с единичным средним, то его CDF равен

${\displaystyle F(x)=1-\exp(-x),}$

и непосредственным результатом преобразования интеграла вероятностей является то, что

${\displaystyle Y=1-\exp(-X)}$

имеет равномерное распределение. Затем с помощью симметрии равномерного распределения можно показать, что

${\displaystyle Y'=\exp(-X)}$

также имеет равномерное распределение.

См. Также [ править ]

• Выборка с обратным преобразованием

Ссылки [ править ]