В теории вероятностей и статистике , копула является многомерной функцией распределения , для которых предельной вероятности распределение каждого переменного равномерное на интервале [0, 1]. Копулы используются для описания зависимости между случайными величинами . Их название происходит от латинского слова «ссылка» или «галстук», похоже , но не связанной с грамматическими связками в лингвистике [ править ] . Копулы (или связки ) широко использовались в количественных финансах.для моделирования и минимизации хвостового риска [1] и приложений для оптимизации портфеля . [2]
Теорема Склара утверждает, что любое многомерное совместное распределение может быть записано в терминах одномерных функций маргинального распределения и копулы, которая описывает структуру зависимости между переменными.
Копулы популярны в высокоразмерных статистических приложениях, поскольку они позволяют легко моделировать и оценивать распределение случайных векторов, оценивая маргиналы и копулы отдельно. Доступно множество семейств параметрических связок, которые обычно имеют параметры, контролирующие силу зависимости. Некоторые популярные параметрические модели копул описаны ниже.
Двумерные связки известны в некоторых других областях математики под названиями перестановок и двустохастических мер .
Математическое определение
Рассмотрим случайный вектор . Предположим, что его маргиналы непрерывны, т.е. маргинальные CDF являются непрерывными функциями . Применяя интегральное преобразование вероятности к каждому компоненту, случайный вектор
имеет маргиналы, равномерно распределенные на отрезке [0, 1].
Связка определяется как совместной интегральной функции распределения по:
Копула C содержит всю информацию о структуре зависимости между компонентами тогда как функции предельного кумулятивного распределения содержат всю информацию о маржинальном распределении .
Обратные эти шаги могут использоваться для генерации псевдослучайных выборок из общих классов многомерных распределений вероятностей . То есть при наличии процедуры генерации выборки из функции копулы искомую выборку можно построить как
Обратные беспроблемны, поскольку считались непрерывными. Кроме того, приведенная выше формула для функции копулы может быть переписана как:
Определение
В вероятностном планеявляется d - мерный копула , если С представляет собой совместное Интегральная функция распределения из г - мерного случайного вектора на единичный куб с едиными маргиналами . [3]
С аналитической точки зрения,является d -мерной копулой, если
- , копула равна нулю, если любой из аргументов равен нулю,
- , копула равна u, если один аргумент равен u, а все остальные - 1,
- C является d -неубывающим, т. Е. Для каждого гипер прямоугольника С -VOLUME из B является неотрицательным:
- где .
Например, в двумерном случае является двумерной связкой, если , а также для всех а также .
Теорема Склара
Теорема Склара, названная в честь Эйба Склара , обеспечивает теоретическую основу для применения связок. [4] [5] Теорема Склара утверждает, что каждая многомерная кумулятивная функция распределения
случайного вектора можно выразить через его маргиналы и связка . Действительно:
В случае, если многомерное распределение имеет плотность , и если это возможно, то далее
где плотность связки.
Теорема также утверждает, что, учитывая связка уникальна на , Который является декартово произведение из диапазонов предельной CDF - х. Это означает, что копула уникальна, если маргиналы непрерывны.
Верно и обратное: с учетом связки и маргиналы тогда определяет d- мерную кумулятивную функцию распределения с маргинальными распределениями.
Условие стационарности
Копулы в основном работают, когда временные ряды стационарны [6] и непрерывны. [7] Таким образом, очень важным этапом предварительной обработки является проверка автокорреляции , тренда и сезонности во временных рядах.
Когда временные ряды автокоррелированы, они могут создавать зависимость отсутствия существования между наборами переменных и приводить к неправильной структуре зависимости Copula. [8]
Границы связки Фреше – Хёффдинга
Теорема Фреше – Хёффдинга (после Мориса Рене Фреше и Василия Хёффдинга [9] ) утверждает, что для любой копулы и любой справедливы следующие оценки:
Функция W называется нижней границей Фреше – Хёффдинга и определяется как
Функция M называется верхней границей Фреше – Хёффдинга и определяется как
Верхняя граница точна : M всегда копула, она соответствует комонотонным случайным величинам .
Нижняя граница точна в том смысле, что при фиксированном u существует копула такой, что . Однако W является копулой только в двух измерениях, и в этом случае она соответствует контрмонотонным случайным величинам.
В двумерном случае, то есть в двумерном случае, теорема Фреше – Хёффдинга утверждает
- .
Семейства связок
Описано несколько семейств связок.
Гауссова связка
Гауссова копула - это распределение по единичному гиперкубу . Он построен на основе многомерного нормального распределения пос помощью интегрального преобразования вероятностей .
Для заданной корреляционной матрицы , гауссова копула с матрицей параметров можно записать как
где - обратная кумулятивная функция распределения стандартного нормального и - совместная интегральная функция распределения многомерного нормального распределения с нулевым средним вектором и ковариационной матрицей, равной корреляционной матрице . Хотя простой аналитической формулы для функции копулы не существует,, он может быть ограничен сверху или снизу и приближен с помощью численного интегрирования. [10] [11] Плотность можно записать как [12]
где - единичная матрица.
Архимедовы связки
Архимедовы связки - это ассоциативный класс связок. Наиболее распространенные архимедовы связки допускают явную формулу, что невозможно, например, для гауссовой связки. На практике архимедовы связки популярны, потому что они позволяют моделировать зависимость в произвольно больших измерениях только с одним параметром, определяющим силу зависимости.
Копула C называется архимедовой, если она допускает представление [13]
где - непрерывная, строго убывающая и выпуклая функция такая, что , параметр в некотором пространстве параметров , а также так называемая функция генератора и является его псевдообратным определением
Более того, приведенная выше формула для C дает копулу для если и только если является г-монотонным на. [14] То есть, если это дифференцируемые раз и производные удовлетворяют
для всех а также а также невозрастающая и выпуклая .
Важнейшие архимедовы связки
В следующих таблицах выделены наиболее известные двумерные архимедовы связки с их соответствующим генератором. Не все они полностью монотонны , т.е. d -монотонны для всехили d -монотонный наверняка Только.
Название связки | Двумерная связка | параметр |
---|---|---|
Али- Михаил-Хак [15] | ||
Клейтон [16] | ||
откровенный | ||
Гамбель | ||
Независимость | ||
Джо |
название | генератор | генератор инверсный |
---|---|---|
Али- Михаил-Хак [15] | ||
Клейтон [16] | ||
откровенный | ||
Гамбель | ||
Независимость | ||
Джо |
Ожидание моделей копул и интеграции Монте-Карло
В статистических приложениях многие задачи можно сформулировать следующим образом. Интересует ожидание функции ответа применяется к некоторому случайному вектору . [17] Если мы обозначим cdf этого случайного вектора как, интересующая величина, таким образом, может быть записана как
Если дается моделью связки, т. е.
это ожидание можно переписать как
В случае , если копула С является абсолютно непрерывным , т.е. С имеет плотность C , это уравнение можно записать в виде
и если каждое маргинальное распределение имеет плотность далее следует, что
Если связка и поля известны (или если они были оценены), это ожидание можно приблизительно оценить с помощью следующего алгоритма Монте-Карло:
- Нарисуйте образец размера n из связки C
- Применяя обратный маргинальный cdf, создайте образец установив
- Приблизительный по эмпирическому значению:
Эмпирические связки
Изучая многомерные данные, можно исследовать лежащую в основе связку. Предположим, у нас есть наблюдения
из случайного вектора со сплошными полями. Соответствующие "истинные" наблюдения связки будут
Однако функции предельного распределения обычно не известны. Следовательно, можно построить наблюдения псевдокопулы, используя эмпирические функции распределения
вместо. Тогда наблюдения псевдокопулы определяются как
Соответствующая эмпирическая связка определяется как
Компоненты образцов псевдокопулы также можно записать как , где это ранг наблюдения :
Следовательно, эмпирическую связку можно рассматривать как эмпирическое распределение данных с преобразованием ранга.
Приложения
Количественное финансирование
Типичные финансовые приложения:
|
В количественном финансировании связки применяются для управления рисками , для управления и оптимизации портфеля , а также для ценообразования производных финансовых инструментов .
В первом случае связки используются для выполнения стресс-тестов и проверок устойчивости, что особенно важно во время «режимов спада / кризиса / паники», когда могут иметь место экстремальные отрицательные явления (например, мировой финансовый кризис 2007–2008 годов). Формула была также адаптирована для финансовых рынков и использовалась для оценки распределения вероятности убытков по пулам ссуд или облигаций .
Во время режима спада большое количество инвесторов, которые занимали позиции в более рискованных активах, таких как акции или недвижимость, могут искать убежища в «более безопасных» инвестициях, таких как наличные деньги или облигации. Это также известно как эффект бегства к качеству, и инвесторы, как правило, закрывают свои позиции в более рискованных активах в больших количествах за короткий период времени. В результате, в режимах спада корреляция между акциями больше при понижении, чем при повышении, и это может иметь катастрофические последствия для экономики. [20] [21] Например, мы часто читаем заголовки финансовых новостей, в которых сообщается о потере сотен миллионов долларов на фондовой бирже за один день; однако мы редко читаем отчеты о положительном приросте фондового рынка такой же величины и в те же короткие сроки.
Копулы помогают анализировать эффекты отрицательных режимов, позволяя отдельно моделировать маргинальные значения и структуру зависимости многомерной вероятностной модели. Например, рассмотрите фондовую биржу как рынок, состоящий из большого количества трейдеров, каждый из которых работает со своими собственными стратегиями для максимизации прибыли. Индивидуалистическое поведение каждого трейдера можно описать путем моделирования маргиналов. Однако, поскольку все трейдеры работают на одной бирже, действия каждого трейдера имеют эффект взаимодействия с другими трейдерами. Этот эффект взаимодействия можно описать путем моделирования структуры зависимости. Таким образом, связки позволяют нам анализировать эффекты взаимодействия, которые представляют особый интерес во время понижательных режимов, поскольку инвесторы склонны ограничивать свое торговое поведение и решения . (См. Также основанную на агентах вычислительную экономику , в которой цена рассматривается как возникающее явление , возникающее в результате взаимодействия различных участников рынка или агентов.)
Пользователи формулы подвергались критике за создание «культуры оценки», которая продолжала использовать простую совокупность, несмотря на то, что простые версии были признаны неадекватными для этой цели. [22] Таким образом, ранее масштабируемые модели копул для больших измерений позволяли моделировать только структуры эллиптических зависимостей (т. Е. Гауссовские и t-копулы Стьюдента), которые не допускали корреляционную асимметрию, когда корреляции различаются в зависимости от режима вверх или вниз. Однако недавняя разработка связок виноградных лоз [23] (также известных как парные связки) позволяет гибко моделировать структуру зависимости для портфелей больших размеров. [24] Каноническая связка виноградной лозы Клейтона допускает возникновение экстремальных неблагоприятных событий и успешно применяется в приложениях для оптимизации портфеля и управления рисками. Модель способна уменьшить влияние экстремальных обратных корреляций и обеспечивает улучшенные статистические и экономические показатели по сравнению с масштабируемыми копулами эллиптической зависимости, такими как копула Гаусса и Стьюдента. [25]
Другие модели, разработанные для приложений управления рисками, представляют собой панические связки, склеенные с рыночными оценками маржинальных распределений для анализа влияния панических режимов на распределение прибылей и убытков портфеля. Панические связки создаются с помощью моделирования Монте-Карло , смешанного с повторным взвешиванием вероятности каждого сценария. [26]
Что касается ценообразования деривативов , моделирование зависимости с функциями копулы широко используется в приложениях для оценки финансовых рисков и актуарного анализа - например, при ценообразовании по обеспеченным долговым обязательствам (CDO). [27] Некоторые считают, что методология применения копулы Гаусса для кредитных деривативов является одной из причин мирового финансового кризиса 2008–2009 годов ; [28] [29] [30] см. Дэвид X. Ли § CDO и гауссовская связка .
Несмотря на такое восприятие, в финансовой индустрии до кризиса предпринимались попытки устранить ограничения гауссовой связки и функций связки в целом, в частности, отсутствие динамики зависимости. Копула Гаусса отсутствует, поскольку она допускает только эллиптическую структуру зависимости, поскольку зависимость моделируется только с использованием матрицы дисперсии-ковариации. [25] Эта методология ограничена, так что она не допускает развития зависимости, поскольку финансовые рынки демонстрируют асимметричную зависимость, в результате чего корреляции между активами значительно увеличиваются во время спадов по сравнению с подъемами. Следовательно, подходы к моделированию с использованием гауссовой связки плохо отражают экстремальные явления . [25] [31] Были попытки предложить модели, устраняющие некоторые ограничения связки. [31] [32] [33]
Помимо CDO, копулы применялись к другим классам активов в качестве гибкого инструмента для анализа производных продуктов с несколькими активами. Первым подобным применением внешнего кредита было использование связки для построения поверхности подразумеваемой волатильности корзины [34], принимая во внимание улыбку волатильности компонентов корзины. С тех пор копулы приобрели популярность в ценообразовании и управлении рисками [35] опционов на несколько активов при наличии волатильности в производных финансовых инструментах на акции , иностранную валюту и фиксированный доход .
Гражданское строительство
В последнее время функции связки были успешно применены к формулировке базы данных для анализа надежности автомобильных мостов, а также к различным исследованиям многомерного моделирования в гражданском строительстве [36], надежности ветроэнергетики и сейсмической инженерии [37], а также в механическом и морском строительстве. [38] Исследователи также пробуют эти функции в области транспорта, чтобы понять взаимодействие между поведением отдельных водителей, которое в совокупности формирует транспортный поток.
Техника надежности
Копулы используются для анализа надежности сложных систем компонентов машин с конкурирующими видами отказов. [39]
Анализ данных о гарантии
Копулы используются для анализа данных о гарантии, в котором анализируется хвостовая зависимость [40]
Турбулентное горение
Копулы используются при моделировании турбулентного горения с частичным предварительным смешиванием, которое является обычным в практических камерах сгорания. [41] [42]
Медицина
Copulæ имеет множество применений в области медицины , например,
- Связки были использованы в области магнитно - резонансной томографии (МРТ), например, для изображений сегмента , [43] для заполнения вакансии в графических моделях в визуализации генетики в исследовании по шизофрении , [44] , и провести различие между нормальным и Пациенты с болезнью Альцгеймера . [45]
- Copul был в области исследований мозга, основанных на сигналах ЭЭГ , например, для обнаружения сонливости во время дневного сна, [46] для отслеживания изменений мгновенной эквивалентной полосы пропускания (IEBW), [47] для получения синхронности для ранней диагностики болезни Альцгеймера. , [48], чтобы охарактеризовать зависимость колебательной активности между каналами ЭЭГ, [49] и оценить надежность использования методов захвата зависимости между парами каналов ЭЭГ с использованием их изменяющихся во времени огибающих . [50] Функции копулы успешно применялись для анализа нейронных зависимостей [51] и подсчета спайков в нейробиологии. [52]
- Модель копулы была разработана в области онкологии , например, для совместного моделирования генотипов , фенотипов и путей для реконструкции клеточной сети для выявления взаимодействий между конкретным фенотипом и множественными молекулярными особенностями (например, мутациями и изменением экспрессии генов ). Бао и др. [53] использовали данные линии раковых клеток NCI60, чтобы идентифицировать несколько подмножеств молекулярных особенностей, которые вместе выступают в качестве предикторов клинических фенотипов. Предлагаемая связка может оказать влияние на биомедицинские исследования, начиная от лечения рака и заканчивая профилактикой болезней. Копула также использовалась для прогнозирования гистологического диагноза колоректальных поражений по изображениям колоноскопии [54] и для классификации подтипов рака. [55]
Геодезия
Комбинация методов на основе SSA и Copula была впервые применена в качестве нового стохастического инструмента для прогнозирования EOP. [56] [57]
Гидрологические исследования
Копулы использовались как в теоретическом, так и в прикладном анализе гидроклиматических данных. В теоретических исследованиях использовалась методология, основанная на связках, например, для лучшего понимания структур зависимости температуры и осадков в различных частях мира. [8] [58] [59] Прикладные исследования использовали методологию, основанную на связках, для изучения, например, сельскохозяйственных засух [60] или совместного воздействия экстремальных температур и осадков на рост растительности. [61]
Климатические и погодные исследования
Копулы широко используются в исследованиях, связанных с климатом и погодой. [62] [63]
Изменчивость солнечного излучения
Копулы использовались для оценки изменчивости солнечного излучения в пространственных сетях и во времени для отдельных местоположений. [64] [65]
Генерация случайных векторов
Большие синтетические следы векторов и стационарные временные ряды могут быть сгенерированы с использованием эмпирической связки, сохраняя при этом всю структуру зависимостей небольших наборов данных. [66] Такие эмпирические трассировки полезны в различных исследованиях производительности на основе моделирования. [67]
Рейтинг электродвигателей
Копулы использовались для оценки качества при производстве двигателей с электронной коммутацией. [68]
Обработка сигналов
Копулы важны, потому что они представляют структуру зависимости без использования маргинальных распределений . Копулы широко используются в области финансов , но их использование в обработке сигналов относительно новое. Копулы использовались в области беспроводной связи для классификации радиолокационных сигналов, обнаружения изменений в приложениях дистанционного зондирования и обработки сигналов ЭЭГ в медицине . В этом разделе представлен краткий математический вывод для получения функции плотности копул, за которым следует таблица, содержащая список функций плотности копул с соответствующими приложениями обработки сигналов.
Математический вывод функции плотности копулы
Для любых двух случайных величин X и Y непрерывная совместная функция распределения вероятностей может быть записана как
где а также являются предельными кумулятивными функциями распределения случайных величин X и Y соответственно.
то функция распределения копул можно определить с помощью теоремы Склара [69] [70] как:
,
где а также - функции предельного распределения, совместное и .
Мы начнем с использования взаимосвязи между совместной функцией плотности вероятности (PDF) и совместной интегральной функцией распределения (CDF) и ее частными производными.
где - функция плотности копулы, а также - предельные функции плотности вероятности X и Y соответственно. Важно понимать, что в этом уравнении четыре элемента, и если известны какие-либо три элемента, можно вычислить четвертый элемент. Например, его можно использовать,
- когда известна совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, известна функция плотности копулы и известна одна из двух маргинальных функций, тогда может быть вычислена другая маргинальная функция, или
- когда известны две маргинальные функции и функция плотности копулы, то может быть вычислена совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, или
- когда известны две маргинальные функции и совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, можно вычислить функцию плотности копулы.
Список функций плотности копул и приложений
Различные двумерные функции плотности копул важны в области обработки сигналов. а также - функции маржинальных распределений и а также - функции предельной плотности. Было показано, что расширение и обобщение связок для статистической обработки сигналов позволяет построить новые двумерные связки для экспоненциальных распределений, распределений Вейбулла и Райса. [71] Zeng et al. В [72] представлены алгоритмы, моделирование, оптимальный выбор и практическое применение этих связок в обработке сигналов.
Плотность копулы: c ( u , v ) | Использовать | |
---|---|---|
Гауссовский | контролируемая классификация изображений радаров с синтезированной апертурой (SAR), [73] проверка биометрической аутентификации [74] моделирование стохастической зависимости в крупномасштабной интеграции ветроэнергетики [75] неконтролируемая классификация радиолокационных сигналов [76] | |
Экспоненциальный | система массового обслуживания с бесконечным числом серверов [77] | |
Рэлей | двумерные экспоненты, копулы Рэлея и Вейбулла доказали свою эквивалентность [78] [79] [80] | обнаружение изменений по изображениям SAR [81] |
Weibull | двумерные экспоненты, копулы Рэлея и Вейбулла доказали свою эквивалентность [78] [79] [80] | цифровая связь по каналам с замиранием [82] |
Лог-нормальный | двумерная логнормальная копула и гауссова копула эквивалентны [80] [79] | затухание тени вместе с эффектом многолучевого распространения в беспроводном канале [83] [84] |
Фарли-Гамбель-Моргенштерн (КОЖПО) | обработка информации о неопределенности в системах, основанных на знаниях [85] | |
Clayton | оценка местоположения источника случайного сигнала и проверка гипотез с использованием разнородных данных [86] [87] | |
откровенный | обнаружение изменений в приложениях дистанционного зондирования [88] | |
Студенческий т | контролируемая классификация изображений SAR, [81] слияние коррелированных сенсорных решений [89] | |
Накагами-м | ||
Rician |
Смотрите также
- Связь (вероятность)
Рекомендации
- ^ a b Низкий, RKY; Alcock, J .; Faff, R .; Брейлсфорд, Т. (2013). «Канонические связки виноградной лозы в контексте современного управления портфелем: стоят ли они того?». Журнал "Банковское дело и финансы" . 37 (8): 3085–3099. DOI : 10.1016 / j.jbankfin.2013.02.036 . S2CID 154138333 .
- ^ а б Низкий, RKY; Faff, R .; Аас, К. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего значения дисперсии путем моделирования распределительной асимметрии» (PDF) . Журнал экономики и бизнеса . 85 : 49–72. DOI : 10.1016 / j.jeconbus.2016.01.003 .
- ^ Нельсен, Роджер Б. (1999), Введение в копулы , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-98623-4
- ^ Sklar, A. (1959), "Функции перераспределения в измерениях и границах", Publ. Inst. Статист. Univ. Париж , 8 : 229–231
- ^ Дуранте, Фабрицио; Фернандес-Санчес, Хуан; Sempi Карло (2013), "Топологическая Доказательство теоремы Скляр в" Прикладная математика Letters , 26 (9): 945-948, DOI : 10.1016 / j.aml.2013.04.005
- ^ Садех, Моджтаба; Рагно, Элиза; АгаКучак, Амир (2017). «Набор инструментов для многомерного анализа копул (MvCAT): описание зависимости и лежащей в основе неопределенности с использованием байесовской модели» . Исследование водных ресурсов . 53 (6): 5166–5183. Bibcode : 2017WRR .... 53.5166S . DOI : 10.1002 / 2016WR020242 . ISSN 1944-7973 .
- ^ АгаКучак, Амир; Бардоши, Андраш; Хабиб, Эмад (2010). «Моделирование неопределенности на основе копулы: применение к мультисенсорным оценкам осадков». Гидрологические процессы . 24 (15): 2111–2124. DOI : 10.1002 / hyp.7632 . ISSN 1099-1085 .
- ^ а б Тутунчи, Фаранак; Хертер, Ян Олаф; Ряти, Олле; Хватает, Томас; Садех, Моджтаба; Тойчбейн, Клаудия (21.07.2020). «Копулы для гидроклиматических приложений - Практическое замечание по распространенным заблуждениям и ошибкам» . Обсуждения гидрологии и наук о Земле : 1–31. DOI : 10.5194 / Hess-2020-306 . ISSN 1027-5606 .
- ^ Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон (март 2011 г.). «Биография Василия Хёффдинга» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс , Шотландия . Проверено 14 февраля 2019 .
- ^ Ботев, З.И. (2016). «Нормальный закон при линейных ограничениях: моделирование и оценка через минимаксный наклон». Журнал Королевского статистического общества, Series B . 79 : 125–148. arXiv : 1603.04166 . Bibcode : 2016arXiv160304166B . DOI : 10.1111 / rssb.12162 . S2CID 88515228 .
- ^ Ботев, Здравко И. (10 ноября 2015 г.). «TruncatedNormal: усеченный многомерный нормальный» - через R-пакеты.
- ^ Арбенс, Филипп (2013). «Распределения байесовских копул с применением к управлению операционными рисками - некоторые комментарии». Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей . 15 (1): 105–108. DOI : 10.1007 / s11009-011-9224-0 . ЛВП : 20.500.11850 / 64244 . S2CID 121861059 .
- ^ а б в Нельсен, РБ (2006). Введение в копулы (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-2109-3.
- ^ Макнил, AJ; Nešlehová, J. (2009). «Многомерные архимедовы связки, d -монотонные функции иСимметричные распределения с одной нормой ". Анналы статистики . 37 (5b): 3059–3097. ArXiv : 0908.3750 . Doi : 10.1214 / 07-AOS556 . S2CID 9858856 .
- ^ а б Али, ММ; Михаил, Н.Н.; Хак, М.С. (1978), "Класс двумерных распределений, включая двумерную логистику", J. Multivariate Anal. , 8 (3): 405-412, DOI : 10.1016 / 0047-259X (78) 90063-5
- ^ а б Клейтон, Дэвид Г. (1978). «Модель ассоциации в двумерных таблицах дожития и ее применение в эпидемиологических исследованиях семейных тенденций в заболеваемости хроническими заболеваниями». Биометрика . 65 (1): 141–151. DOI : 10.1093 / Biomet / 65.1.141 . JSTOR 2335289 .
- ^ Александр Дж. Макнил, Рюдигер Фрей и Пол Эмбрехтс (2005) «Количественное управление рисками: концепции, методы и инструменты», Принстонская серия по финансам
- ^ а б Лоу, Рэнд (2017-05-11). «Виноградные связки: моделирование системного риска и повышение эффективности оптимизации портфеля на более высокий момент» . Бухгалтерский учет и финансы . 58 : 423–463. DOI : 10.1111 / acfi.12274 .
- ^ Рад, Хоссейн; Лоу, Рэнд Квонг Ю; Фафф, Роберт (2016-04-27). «Прибыльность парных торговых стратегий: дистанционный, коинтеграционный и копульный методы». Количественные финансы . 16 (10): 1541–1558. DOI : 10.1080 / 14697688.2016.1164337 . S2CID 219717488 .
- ^ Лонгин, Ф; Сольник, B (2001), "Экстремальная корреляция международных фондовых рынков", журнал финансы , 56 (2): 649-676, CiteSeerX 10.1.1.321.4899 , DOI : 10.1111 / 0022-1082.00340 , S2CID 6143150
- ^ Анг, А; Chen, J (2002), "Асимметричные корреляции портфелей акций", журнал Финансовая экономика , 63 (3): 443-494, DOI : 10.1016 / s0304-405x (02) 00068-5
- ^ Маккензи, Дональд; Спирс, Тейлор (июнь 2012 г.). «Формула, убившая Уолл-стрит»? Гауссовская связка и материальные культуры моделирования (pdf) (Технический отчет). Школа социальных и политических наук Эдинбургского университета .
- ^ Кук, РМ; Джо, H .; Аас, К. (январь 2011 г.). Kurowicka, D .; Джо, Х. (ред.). Справочник по моделированию зависимости Vine Copula (PDF) . World Scientific. С. 37–72. ISBN 978-981-4299-87-9.
- ^ Аас, К; Czado, C ; Баккен, H (2009), "Пара-Копула конструкции множественной зависимости", страхование: Математика и экономика , 44 (2): 182-198, CiteSeerX 10.1.1.61.3984 , DOI : 10.1016 / j.insmatheco.2007.02.001
- ^ а б в Низкий, R; Alcock, J; Brailsford, T; Фафф, Р. (2013), «Канонические связки виноградной лозы в контексте современного управления портфелем: стоят ли они того?», Journal of Banking and Finance , 37 (8): 3085–3099, doi : 10.1016 / j.jbankfin.2013.02 0,036 , S2CID 154138333
- ^ Меуччи, Аттилио (2011), «Новое поколение копул для управления рисками и портфелем» , Риск , 24 (9): 122–126
- ^ Менегуццо, Дэвид; Веккьято, Вальтер (ноябрь 2003 г.), «Чувствительность копул в обеспеченных долговых обязательствах и свопах по умолчанию», Journal of Futures Markets , 24 (1): 37–70, doi : 10.1002 / fut.10110
- ↑ Рецепт катастрофы: формула, убившая Wall Street Wired , 23 февраля 2009 г.
- ^ Маккензи, Дональд (2008 г.), «Конец мировой торговли» , London Review of Books (опубликовано 08 мая 2008 г.) , стр. 24–26 , получено 27 июля 2009 г.
- ^ Джонс, Сэм (24 апреля 2009 г.), «Формула, разрушившая Уолл-стрит» , Financial Times
- ^ а б Липтон, Александр; Ренни, Эндрю (2008). Кредитная корреляция: жизнь после копул . World Scientific. ISBN 978-981-270-949-3.
- ^ Доннелли, C; Embrechts, P (2010). «Дьявол в хвосте: актуарная математика и кризис субстандартного ипотечного кредитования». Бюллетень АСТИН 40 (1), 1–33. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Бриго, Д; Паллавичини, А; Торресетти, Р. (2010). Кредитные модели и кризис: путешествие в CDO, копулы, корреляции и динамические модели . Wiley and Sons.
- ^ Цюй, Донг (2001). «Поверхность предполагаемой волатильности корзины». Неделя производных финансовых инструментов (4 июня).
- ^ Цюй, Донг (2005). «Варианты корзины ценообразования с перекосом». Журнал Wilmott (июль).
- ^ Томпсон, Дэвид; Килгор, Роджер (2011), "Оценка Joint поток Вероятность на потоке слияниях с использованием связок" , транспортные исследования Запись , 2262 : 200-206, DOI : 10,3141 / 2262-20 , S2CID 17179491 , извлекаться 2012-02-21
- ^ Ян, Южная Каролина; Лю, TJ; Хонг, HP (2017). «Надежность башенных и опорных линий при пространственно-временном изменении ветровых или землетрясений». Журнал структурной инженерии . 143 (10): 04017137. DOI : 10,1061 / (ASCE) ST.1943-541X.0001835 .
- ^ Чжан, И; Пиво, Майкл; Квек, Сер Тонг (01.07.2015). «Долгосрочная оценка эффективности и проектирование морских сооружений». Компьютеры и конструкции . 154 : 101–115. DOI : 10.1016 / j.compstruc.2015.02.029 .
- ^ Фам, Хонг (2003), Справочник по проектированию надежности , Springer, стр. 150–151.
- ^ В, С. (2014), "Строительство асимметричных связок и его применение в моделировании двумерный надежности" (PDF) , Европейский журнал оперативных исследований , 238 (2): 476-485, DOI : 10.1016 / j.ejor. 2014.03.016 , S2CID 22916401
- ^ Ruan, S .; Swaminathan, N; Дарбишир, О. (2014), «Моделирование турбулентного струйного пламени с использованием флейметов: априорная оценка и апостериорная проверка», Теория горения и моделирование , 18 (2): 295–329, Bibcode : 2014CTM .... 18 .. 295R , DOI : 10,1080 / 13647830.2014.898409 , S2CID 53641133
- ^ Дарбишир, Орегон; Сваминатана N (2012), "предполагаемая модель совместного PDF для турбулентного горения с переменным соотношением эквивалентности", горение Наука и техника , 184 (12): 2036-2067, DOI : 10,1080 / 00102202.2012.696566 , S2CID 98096093
- ^ Лапуяде-Лахорг, Жером; Сюэ, Цзин-Хао; Жуань, вс (июль 2017 г.). «Сегментация изображений из нескольких источников с использованием скрытых марковских полей с многомерными статистическими распределениями на основе копул» . IEEE Transactions по обработке изображений . 26 (7): 3187–3195. Bibcode : 2017ITIP ... 26.3187L . DOI : 10.1109 / tip.2017.2685345 . ISSN 1057-7149 . PMID 28333631 . S2CID 11762408 .
- ^ Чжан, Айин; Фанг, Цзянь; Калхун, Винс Д .; Ван Ю-пин (апрель 2018 г.). «Высокомерная модель латентной гауссовой копулы для смешанных данных в визуализации генетики». 15-й Международный симпозиум по биомедицинской визуализации IEEE 2018 (ISBI 2018) . IEEE: 105–109. DOI : 10.1109 / isbi.2018.8363533 . ISBN 978-1-5386-3636-7. S2CID 44114562 .
- ^ Бахрами, Мохсен; Хоссейн-Заде, Голам-Али (май 2015 г.). «Изменения ассортативности болезни Альцгеймера: исследование FMRI в состоянии покоя». 2015 23-я Иранская конференция по электротехнике . IEEE: 141–144. DOI : 10.1109 / iraniancee.2015.7146198 . ISBN 978-1-4799-1972-7. S2CID 20649428 .
- ^ Цянь, Дун; Ван, Бэй; Цин, Сянъюнь; Чжан, Дао; Чжан, Ю; Ван, Синюй; Накамура, Масатоши (апрель 2017 г.). «Обнаружение сонливости с помощью дискриминантного классификатора Байесовской связки на основе сигналов ЭЭГ во время короткого дневного сна». IEEE Transactions по биомедицинской инженерии . 64 (4): 743–754. DOI : 10.1109 / tbme.2016.2574812 . ISSN 0018-9294 . PMID 27254855 . S2CID 24244444 .
- ^ Ёсида, Хисаши; Курамото, Харука; Сунада, Юске; Киккава, Шо (август 2007 г.). «Анализ ЭЭГ в состоянии поддержания бодрствования против сонливости по мгновенной эквивалентной полосе пропускания». 2007 29-я ежегодная международная конференция общества инженеров IEEE в медицине и биологии . IEEE. 2007 : 19–22. DOI : 10.1109 / iembs.2007.4352212 . ISBN 978-1-4244-0787-3. PMID 18001878 . S2CID 29527332 .
- ^ Iyengar, Satish G .; Дауэлс, Джастин; Варшней, Прамод К .; Цихоцкий, Анджей (2010). «Количественная оценка синхронности ЭЭГ с помощью связок». 2010 Международная конференция IEEE по акустике, обработке речи и сигналов . IEEE: 505–508. DOI : 10.1109 / icassp.2010.5495664 . ISBN 978-1-4244-4295-9. S2CID 16476449 .
- ^ Гао, Сюй; Шен, Вейнинг; Тинг, Чи-Мин; Крамер, Стивен С .; Шринивасан, Рамеш; Омбао, Эрнандо (апрель 2019 г.). "Оценка связности мозга с помощью копул-гауссовских графических моделей". 16-й Международный симпозиум по биомедицинской визуализации IEEE 2019 (ISBI 2019) . IEEE: 108–112. DOI : 10.1109 / isbi.2019.8759538 . ISBN 978-1-5386-3641-1. S2CID 195881851 .
- ^ Fadlallah, BH; Брокмайер, AJ; Seth, S .; Линь Ли; Keil, A .; Принсипи, JC (август 2012 г.). «Структура ассоциации для анализа структуры зависимости во временных рядах». Ежегодная международная конференция 2012 года Общества инженеров IEEE в медицине и биологии . IEEE. 2012 : 6176–6179. DOI : 10.1109 / embc.2012.6347404 . ISBN 978-1-4577-1787-1. PMID 23367339 . S2CID 9061806 .
- ^ Eban, E; Ротшильд, Р. Мизрахи, А; Nelken, I; Элидан, Дж. (2013), Карвалью, К; Равикумар, П. (ред.), "Динамические сети копул для моделирования вещественных временных рядов" (PDF) , Журнал исследований в области машинного обучения , 31
- ^ Онкен, А; Grünewälder, S; Munk, MH; Обермайер, К. (2009), Аэрцен, Эд (редактор), «Анализ кратковременных шумовых зависимостей количества спайков в префронтальной коре макака с использованием копул и преобразования фонарика», PLOS Computational Biology , 5 (11): e1000577, Bibcode : 2009PLSCB ... 5E0577O , DOI : 10.1371 / journal.pcbi.1000577 , PMC 2776173 , PMID 19956759
- ^ Бао, Ле; Чжу, Чжоу; Е, Цзинцзин (март 2009 г.). «Моделирование сети генных путей онкологии с множественными генотипами и фенотипами методом копул». Симпозиум IEEE 2009 г. по вычислительному интеллекту в биоинформатике и вычислительной биологии . IEEE: 237–246. DOI : 10,1109 / cibcb.2009.4925734 . ISBN 978-1-4244-2756-7. S2CID 16779505 .
- ^ Квитт, Роланд; Уль, Андреас; Хафнер, Майкл; Гангл, Альфред; Wrba, Фридрих; Вечеи, Андреас (июнь 2010 г.). «Прогнозирование гистологии колоректального поражения в вероятностных рамках». Конференция компьютерного общества IEEE 2010 года по компьютерному зрению и распознаванию образов - семинары . IEEE: 103–110. DOI : 10.1109 / cvprw.2010.5543146 . ISBN 978-1-4244-7029-7. S2CID 14841548 .
- ^ Кон, Массачусетс; Николаев, Н. (декабрь 2011 г.). «Эмпирическая нормализация для квадратичного дискриминантного анализа и классификации подтипов рака». 2011 10-я Международная конференция по машинному обучению и приложениям и семинары . IEEE: 374–379. DOI : 10.1109 / icmla.2011.160 . ЛВП : 2144/38445 . ISBN 978-1-4577-2134-2. S2CID 346934 .
- ^ Modiri, S .; Belda, S .; Heinkelmann, R .; Hoseini, M .; Феррандис, JM; Шух, Х. (2018). «Прогнозирование полярного движения с использованием комбинации SSA и анализа на основе Copula» . Земля, планеты и космос . 70 (70): 115. Bibcode : 2018EP&S ... 70..115M . DOI : 10,1186 / s40623-018-0888-3 . PMC 6434970 . PMID 30996648 .
- ^ Modiri, S .; Belda, S .; Hoseini, M .; Heinkelmann, R .; Феррандис, JM; Шух, Х. (2020). «Новый гибридный метод для улучшения сверхкороткого прогнозирования LOD» . Журнал геодезии . 94 (23): 23. Bibcode : 2020JGeod..94 ... 23M . DOI : 10.1007 / s00190-020-01354-у . PMC 7004433 . PMID 32109976 .
- ^ Лазоглоу, Грузия; Анагностопулу, Кристина (февраль 2019 г.). «Совместное распределение температуры и осадков в Средиземном море по методу Copula». Теоретическая и прикладная климатология . 135 (3–4): 1399–1411. Bibcode : 2019ThApC.135.1399L . DOI : 10.1007 / s00704-018-2447-Z . ISSN 0177-798X . S2CID 125268690 .
- ^ Конг, Ронг-Ганг; Брэди, Марк (2012). «Взаимозависимость между осадками и температурой: анализ копулы» . Научный мировой журнал . 2012 : 405675. дои : 10,1100 / 2012/405675 . ISSN 1537-744X . PMC 3504421 . PMID 23213286 .
- ^ Ван, Лонг; Ю, Ханг; Ян, Маолин; Ян, Руи; Гао, Руи; Ван, Ин (апрель 2019 г.). «Индекс засухи: стандартизованный индекс стока эвапотранспирации осадков». Журнал гидрологии . 571 : 651–668. Bibcode : 2019JHyd..571..651W . DOI : 10.1016 / j.jhydrol.2019.02.023 .
- ^ Алидост, Факерех; Су, Чжунбо; Штейн, Альфред (декабрь 2019 г.). «Оценка воздействия экстремальных климатических явлений на урожайность, производство и цену сельскохозяйственных культур с использованием многомерного распределения: новое приложение с копулой» . Экстремальные погодные и климатические явления . 26 : 100227. дои : 10.1016 / j.wace.2019.100227 .
- ^ Schölzel, C .; Friederichs, P. (2008). «Многомерные ненормально распределенные случайные величины в исследованиях климата - введение в метод связки» . Нелинейные процессы в геофизике . 15 (5): 761–772. Bibcode : 2008NPGeo..15..761S . DOI : 10.5194 / NPG-15-761-2008 .
- ^ Laux, P .; Vogl, S .; Qiu, W .; Knoche, HR; Кунстманн, Х. (2011). «Статистическое уточнение осадков на основе копул в моделировании RCM на сложной местности» . Hydrol. Earth Syst. Sci . 15 (7): 2401–2419. Bibcode : 2011HESS ... 15.2401L . DOI : 10.5194 / Hess-15-2401-2011 .
- ^ Munkhammar, J .; Виден, Дж. (2017). «Метод копул для моделирования коррелированной мгновенной солнечной освещенности в пространственных сетях». Солнечная энергия . 143 : 10–21. Bibcode : 2017SoEn..143 ... 10M . DOI : 10.1016 / j.solener.2016.12.022 .
- ^ Munkhammar, J .; Виден, Дж. (2017). «Модель копул на основе автокорреляции для создания реалистичных временных рядов индекса ясного неба». Солнечная энергия . 158 : 9–19. Bibcode : 2017SoEn..158 .... 9M . DOI : 10.1016 / j.solener.2017.09.028 .
- ^ Стрелен, Иоганн Кристоф (2009). Инструменты для зависимого ввода моделирования с копулами . 2-я Международная конференция ИККТ по средствам и методам моделирования. DOI : 10.4108 / icst.simutools2009.5596 .
- ^ Бандара, HMND; Джаясумана, AP (декабрь 2011 г.). О характеристиках и моделировании ресурсов P2P с коррелированными статическими и динамическими атрибутами . IEEE Globecom . С. 1–6. CiteSeerX 10.1.1.309.3975 . DOI : 10,1109 / GLOCOM.2011.6134288 . ISBN 978-1-4244-9268-8. S2CID 7135860 .
- ^ Милева Бошкоска, Биляна; Боханец, Марко; Бошкоски, Павле; Юричич, Джани (01.04.2015). «Система поддержки принятия решений на основе Copula для ранжирования качества при производстве двигателей с электронной коммутацией». Журнал интеллектуального производства . 26 (2): 281–293. DOI : 10.1007 / s10845-013-0781-7 . ISSN 1572-8145 . S2CID 982081 .
- ^ Аппель, Пол; Гурса, Эдуард (1895). Теория algébriques et de leurs intégrales étude des fonctions analytiques sur une surface de Riemann / par Paul Appell, Edouard Goursat . Париж: Готье-Виллар. DOI : 10.5962 / bhl.title.18731 .
- ^ Дуранте, Фабрицио; Фернандес-Санчес, Хуан; Семпи, Карло (2013). «Топологическое доказательство теоремы Склара» . Письма по прикладной математике . 26 (9): 945–948. DOI : 10.1016 / j.aml.2013.04.005 . ISSN 0893-9659 .
- ^ Цзэн, Сюэсин; Рен, Цзиньчан; Ван, Чжэн; Маршалл, Стивен; Дуррани, Тарик (январь 2014 г.). «Копулы для статистической обработки сигналов (Часть I): Расширения и обобщения» (PDF) . Обработка сигналов . 94 : 691–702. DOI : 10.1016 / j.sigpro.2013.07.009 . ISSN 0165-1684 .
- ^ Цзэн, Сюэсин; Рен, Цзиньчан; Солнце, Мейджун; Маршалл, Стивен; Дуррани, Тарик (январь 2014 г.). «Копулы для статистической обработки сигналов (часть II): моделирование, оптимальный выбор и практическое применение» (PDF) . Обработка сигналов . 94 : 681–690. DOI : 10.1016 / j.sigpro.2013.07.006 . ISSN 0165-1684 .
- ^ Сторвик, Б .; Сторвик, Г .; Фьортофт, Р. (2009). «О сочетании мультисенсорных данных с использованием мета-гауссовских распределений». IEEE Transactions по наукам о Земле и дистанционному зондированию . 47 (7): 2372–2379. Bibcode : 2009ITGRS..47.2372S . DOI : 10.1109 / tgrs.2009.2012699 . ISSN 0196-2892 . S2CID 371395 .
- ^ Дасс, Южная Каролина; Юнфан Чжу; Джайн, АК (2006). «Проверка системы биометрической аутентификации: требования к размеру выборки». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 28 (12): 1902–1319. DOI : 10.1109 / tpami.2006.255 . ISSN 0162-8828 . PMID 17108366 . S2CID 1272268 .
- ^ Papaefthymiou, G .; Куровицка, Д. (2009). "Использование копул для моделирования стохастической зависимости в анализе неопределенности энергосистемы" . IEEE Transactions on Power Systems . 24 (1): 40–49. Bibcode : 2009ITPSy..24 ... 40P . DOI : 10.1109 / tpwrs.2008.2004728 . ISSN 0885-8950 .
- ^ Brunel, NJ-B .; Lapuyade-Lahorgue, J .; Печинский, В. (2010). "Моделирование и неконтролируемая классификация многомерных скрытых марковских цепей с копулами". IEEE Transactions по автоматическому контролю . 55 (2): 338–349. DOI : 10,1109 / tac.2009.2034929 . ISSN 0018-9286 . S2CID 941655 .
- ^ Лай, Чин Дью; Балакришнан, Н. (2009). Непрерывные двумерные распределения . DOI : 10.1007 / b101765 . ISBN 978-0-387-09613-1.
- ^ а б Дуррани, Т.С.; Цзэн, X. (2007). «Копулы для двумерных распределений вероятностей». Письма об электронике . 43 (4): 248. Bibcode : 2007ElL .... 43..248D . DOI : 10.1049 / эл: 20073737 . ISSN 0013-5194 .
- ^ а б в Лю, X. (2010). «Копулы двумерных распределений Рэлея и логнормальных распределений». Письма об электронике . 46 (25): 1669. Bibcode : 2010ElL .... 46.1669L . DOI : 10.1049 / el.2010.2777 . ISSN 0013-5194 .
- ^ а б в Цзэн, Сюэсин; Рен, Цзиньчан; Ван, Чжэн; Маршалл, Стивен; Дуррани, Тарик (2014). «Копулы для статистической обработки сигналов (Часть I): Расширения и обобщения» (PDF) . Обработка сигналов . 94 : 691–702. DOI : 10.1016 / j.sigpro.2013.07.009 . ISSN 0165-1684 .
- ^ а б Hachicha, S .; Чаабене, Ф. (2010). Фруэн, Роберт Дж; Ю, Хон Рён; Вон, Чжун-Сон; Фен, Айпин (ред.). «Обнаружение изменения SAR с помощью копулы Рэлея». Дистанционное зондирование прибрежной среды океана, суши и атмосферы . ШПИОН. 7858 : 78581F. Bibcode : 2010SPIE.7858E..1FH . DOI : 10.1117 / 12.870023 . S2CID 129437866 .
- ^ «Кодированная связь по каналам с замиранием», Цифровая связь по каналам с замиранием , John Wiley & Sons, Inc., стр. 758–795, 2005 г., doi : 10.1002 / 0471715220.ch13 , ISBN 978-0-471-71522-1
- ^ Дас, Сайкат; Бхаттачарья, Амитабха (2020). «Применение смеси логнормального распределения для представления статистики первого порядка беспроводных каналов». Системный журнал IEEE . 14 (3): 4394–4401. Bibcode : 2020ISysJ..14.4394D . DOI : 10.1109 / JSYST.2020.2968409 . ISSN 1932-8184 . S2CID 213729677 .
- ^ Alouini, M.-S .; Саймон, МК (2002). «Двойное разнесение по каналам с коррелированными логарифмическими нормальными замираниями». Транзакции IEEE по коммуникациям . 50 (12): 1946–1959. DOI : 10.1109 / TCOMM.2002.806552 . ISSN 0090-6778 .
- ^ Колесарова, Анна; Месияр, Радько; Saminger-Platz, Susanne (2018), Медина, Хесус; Охеда-Асьего, Мануэль; Вердегай, Хосе Луис; Пельта, Дэвид А. (ред.), «Обобщенные копулы Фарли-Гамбеля-Моргенштерна», Обработка информации и управление неопределенностью в системах, основанных на знаниях. Теория и основы , Springer International Publishing, 853 , стр 244-252,. Дои : 10.1007 / 978-3-319-91473-2_21 , ISBN 978-3-319-91472-5
- ^ Сундаресан, Ашок; Варшней, Прамод К. (2011). «Оценка местоположения источника случайного сигнала на основе наблюдений с коррелированным датчиком». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 59 (2): 787–799. Bibcode : 2011ITSP ... 59..787S . DOI : 10.1109 / tsp.2010.2084084 . ISSN 1053-587X . S2CID 5725233 .
- ^ Iyengar, Satish G .; Варшней, Прамод К .; Дамарла, Тьягараджу (2011). «Параметрическая основанная на копуле структура для проверки гипотез с использованием разнородных данных». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 59 (5): 2308–2319. Bibcode : 2011ITSP ... 59.2308I . DOI : 10.1109 / tsp.2011.2105483 . ISSN 1053-587X . S2CID 5549193 .
- ^ Mercier, G .; Moser, G .; Серпико, С.Б. (2008). «Условные копулы для обнаружения изменений в неоднородных изображениях дистанционного зондирования». IEEE Transactions по наукам о Земле и дистанционному зондированию . 46 (5): 1428–1441. Bibcode : 2008ITGRS..46.1428M . DOI : 10.1109 / tgrs.2008.916476 . ISSN 0196-2892 . S2CID 12208493 .
- ^ Сундаресан, Ашок; Варшней, Прамод К .; Рао, Нагешвара SV (2011). «Слияние коррелированных решений на основе копул». IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам . 47 (1): 454–471. Bibcode : 2011ITAES..47..454S . DOI : 10,1109 / taes.2011.5705686 . ISSN 0018-9251 . S2CID 22562771 .
дальнейшее чтение
- Стандартный справочник для введения в связки. Охватывает все фундаментальные аспекты, суммирует наиболее популярные классы связок и предоставляет доказательства важных теорем, связанных с связками.
- Роджер Б. Нельсен (1999), «Введение в копулы», Springer. ISBN 978-0-387-98623-4
- Книга по актуальным темам математических исследований связок:
- Петр Яворски, Фабрицио Дуранте, Вольфганг Карл Хердл, Томаш Рихлик (редакторы): (2010): «Теория копулы и ее приложения» Конспект лекций по статистике, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8
- Справочник по приложениям выборки и стохастическим моделям, связанным с связками
- Ян-Фредерик Май, Маттиас Шерер (2012): Моделирование копул (стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения). World Scientific. ISBN 978-1-84816-874-9
- Статья, посвященная историческому развитию теории связок, написанная человеком, связанным с «изобретением» связок, Эйбом Скларом .
- Abe Sklar (1997): «Случайные переменные, функции распределения и связки - личный взгляд назад и вперед» в Rüschendorf, L., Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) Distribution With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Примечания - Серия монографий № 28). ISBN 978-0-940600-40-9
- Стандартный справочник по многомерным моделям и теории связок в контексте финансовых и страховых моделей.
- Александр Дж. Макнил, Рюдигер Фрей и Пол Эмбрехтс (2005) «Количественное управление рисками: концепции, методы и инструменты», Принстонская серия по финансам. ISBN 978-0-691-12255-7
Внешние ссылки
- "Copula" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Copula Wiki: портал сообщества для исследователей, интересующихся связками
- Коллекция кодов моделирования и оценки Copula
- Торстен Шмидт (2006) «Как справиться с связками»
- Копулы и корреляция с использованием статей о моделировании Excel
- Глава 1 Ян-Фредерик Май, Маттиас Шерер (2012) «Моделирование копул: стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения»