В статистике анализ Прокруста — это форма статистического анализа форм, используемая для анализа распределения набора фигур . Имя Прокруст ( греч . Προκρούστης ) относится к бандиту из греческой мифологии, который заставлял своих жертв помещаться на его кровати, либо вытягивая им конечности, либо отрезая их.
Когда форму сравнивают с другой или набор фигур сравнивают с произвольно выбранной эталонной формой, анализ Прокруста иногда дополнительно квалифицируется как классический или обычный , в отличие от обобщенного анализа Прокруста (GPA), который сравнивает три или более формы с оптимально определенная «средняя форма».
Чтобы сравнить формы двух или более объектов, объекты необходимо сначала оптимально «наложить друг на друга». Наложение Прокруста (PS) выполняется путем оптимального перемещения , вращения и равномерного масштабирования объектов. Другими словами, свободно регулируется как размещение в пространстве , так и размер объектов. Цель состоит в том, чтобы получить одинаковое расположение и размер за счет минимизации разницы в форме, называемой расстоянием Прокруста между объектами. Иногда это называют полным , в отличие от частичного PS, при котором масштабирование не производится (т.е. сохраняется размер объектов). Обратите внимание, что после полного PS объекты будут точно совпадать, если их форма идентична. Например, при полной ПС две сферы разных радиусов всегда будут совпадать, поскольку имеют совершенно одинаковую форму. И наоборот, при частичном ПС они никогда не совпадут. Это означает, что, согласно строгому определению термина « форма» в геометрии , анализ формы должен выполняться с использованием полного PS. Статистический анализ, основанный на частичном PS, не является чистым анализом формы, поскольку он чувствителен не только к различиям в форме, но и к различиям в размерах. Как полная, так и частичная PS никогда не смогут идеально совместить два объекта разной формы, например куб и сферу или правую и левую руку.
В некоторых случаях как полная, так и частичная PS может также включать в себя отражение . Рефлексия позволяет, например, успешно (возможно, идеально) наложить правую руку на левую. Таким образом, частичная PS с включенным отражением сохраняет размер, но допускает перемещение, вращение и отражение, тогда как полная PS с включенным отражением допускает перемещение, вращение, масштабирование и отражение.
Здесь мы просто рассматриваем объекты, состоящие из конечного числа k точек в n измерениях. Часто эти точки выбирают на сплошной поверхности сложных объектов, например человеческой кости, и в этом случае их называют точками-ориентирами .
Форму объекта можно рассматривать как члена класса эквивалентности , образованного путем удаления компонентов поступательного , вращательного и равномерного масштабирования .