Метод проекции является эффективным средством численного решения нестационарных задач потока несжимаемой жидкости . Первоначально он был введен Александром Чорином в 1967 году [1] [2] как эффективное средство решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости . Ключевым преимуществом проекционного метода является то, что вычисления полей скорости и давления не связаны.
Алгоритм
Алгоритм проекционного метода основан на разложении Гельмгольца (иногда называемом разложением Гельмгольца-Ходжа) любого векторного поля на соленоидальную часть и безвихревую часть. Обычно алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе на каждом временном шаге вычисляется промежуточная скорость, не удовлетворяющая ограничению несжимаемости. Во втором случае давление используется для проецирования промежуточной скорости на пространство бездивергентного поля скоростей для получения следующего обновления скорости и давления.
Разложение Гельмгольца – Ходжа.
Теоретической основой метода проекционного типа является теорема Ладыженской о разложении, которую иногда называют разложением Гельмгольца – Ходжа или просто разложением Ходжа. В нем говорится, что векторное полеопределенный на односвязной области однозначно разлагается на бездивергентную ( соленоидальную ) частьи безвихревую часть. . [3]
Таким образом,
поскольку для некоторой скалярной функции, . Принимая во внимание расходимость уравнения, получаем
Это уравнение Пуассона для скалярной функции. Если векторное поле известно, вышеуказанное уравнение может быть решено для скалярной функции и бездивергентная часть можно извлечь с помощью соотношения
В этом суть соленоидального проекционного метода решения уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости.
Проекционный метод Чорина
Несжимаемое уравнение Навье-Стокса (дифференциальная форма уравнения количества движения) можно записать как
В Chorin «S оригинальный вариант метода проекции, сначала вычисляет скорость промежуточного соединения ,, явно используя уравнение импульса, игнорируя член градиента давления:
где скорость при й временной шаг. Во второй половине алгоритма, шаге проекции , мы корректируем промежуточную скорость, чтобы получить окончательное решение шага по времени.:
Это уравнение можно переписать в виде шага по времени как
чтобы прояснить, что алгоритм на самом деле представляет собой подход разделения операторов, в котором силы вязкости (на первом полушаге) и силы давления (на втором полушаге) рассматриваются отдельно.
Вычисление правой части второго полушага требует знания давления, , навременной уровень. Это получается, если взять дивергенцию и потребовать, чтобы, которое является условием дивергенции (непрерывности), тем самым выводя следующее уравнение Пуассона для ,
Поучительно отметить, что уравнение, записанное как
является стандартным разложением Ходжа, если граничное условие для на границе домена, находятся . На практике это условие отвечает за ошибки, которые этот метод показывает вблизи границы области, поскольку реальное давление (т.е. давление в точном решении уравнений Навье-Стокса) не удовлетворяет таким граничным условиям.
Для явного метода граничное условие для в уравнении (1) является естественным. Если на , то пространство бездивергентных векторных полей будет ортогонально пространству безвихревых векторных полей, и из уравнения (2) имеем
Явную обработку граничного условия можно обойти, используя шахматную сетку и требуя, чтобы обращаются в нуль в узлах давления, примыкающих к границам.
Отличительной чертой проекционного метода Чорина является то, что поле скорости вынуждено удовлетворять дискретному ограничению непрерывности в конце каждого временного шага.
Общий метод
Обычно метод проецирования работает как двухэтапная схема дробного шага, метод, который использует несколько шагов вычисления для каждого числового шага по времени. Во многих алгоритмах проецирования шаги разделены следующим образом:
- Сначала система продвигается во времени к положению со средним временным шагом, решая вышеуказанные уравнения переноса для массы и импульса с использованием подходящего метода переноса. Это обозначается как шаг предиктора .
- В этот момент может быть реализована начальная проекция, так что поле скорости на середине временного шага будет обеспечено как свободное от расхождения.
- Затем выполняется корректирующая часть алгоритма. Они используют центрированные по времени оценки скорости, плотности и т. Д. Для формирования окончательного состояния временного шага.
- Затем применяется окончательная проекция, чтобы обеспечить ограничение расходимости в поле скорости. Система полностью обновлена до нового времени.
Рекомендации
- ^ Чорин, AJ (1967), "Численное решение уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости" (PDF) , Bull. Являюсь. Математика. Soc. , 73 : 928–931
- ^ Чорин, AJ (1968), "Численное решение уравнений Навье-Стокса", Math. Комп. , 22 : 745-762, DOI : 10,1090 / s0025-5718-1968-0242392-2
- ^ Чорин, AJ; Дж. Э. Марсден (1993). Математическое введение в механику жидкости (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97918-2.