Псевдоспектральный метод

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Псевдоспектральный метод»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Псевдо-спектральные методы , ^[1] , также известная как представления дискретных переменных (DVR) метода, представляют собой класс численных методов , используемые в прикладной математике и научных вычислениях для решения дифференциальных уравнений . Они тесно связаны со спектральными методами , но дополняют основу дополнительным псевдоспектральным базисом, который позволяет представлять функции на квадратурной сетке. Это упрощает оценку некоторых операторов и может значительно ускорить расчет при использовании быстрых алгоритмов, таких как быстрое преобразование Фурье .

Мотивация конкретным примером [ править ]

Возьмем задачу с начальным значением

${\ Displaystyle я {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \ psi (x, t) = {\ Bigl [} - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2} }} + V (x) {\ Bigr]} \ psi (x, t), \ qquad \ qquad \ psi (t_ {0}) = \ psi _ {0}}$

с периодическими условиями . Этот конкретный пример представляет собой уравнение Шредингера для частицы в потенциале , но его структура более общая. Во многих практических уравнениях с частными производными есть член, который включает производные (например, вклад кинетической энергии) и умножение на функцию (например, потенциал).${\ Displaystyle \ psi (x + 1, t) = \ psi (x, t)}$${\ Displaystyle V (х)}$

В спектральном методе решение расширяется до подходящего набора базисных функций, например плоских волн,${\ displaystyle \ psi}$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n}c_{n}(t)e^{2\pi inx}.}$

Вставка и приравнивание одинаковых коэффициентов дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов,

${\displaystyle i{\frac {d}{dt}}c_{n}(t)=(2\pi n)^{2}c_{n}+\sum _{k}V_{n-k}c_{k},}$

где элементы вычисляются с помощью явного преобразования Фурье${\displaystyle V_{n-k}}$

${\displaystyle V_{n-k}=\int _{0}^{1}V(x)\ e^{2\pi i(k-n)x}dx.}$

Тогда решение будет получено путем усечения разложения до базисных функций и нахождения решения для . Как правило, это делается численными методами , такими как методы Рунге – Кутта . Для численных решений правая часть обыкновенного дифференциального уравнения должна многократно оцениваться на разных временных шагах. На этом этапе у спектрального метода есть большая проблема с потенциальным членом .${\displaystyle N}$${\displaystyle c_{n}(t)}$${\displaystyle V(x)}$

В спектральном представлении умножение на функцию преобразуется в векторно-матричное умножение, которое масштабируется как . Кроме того, матричные элементы должны быть вычислены явно, прежде чем можно будет решить дифференциальное уравнение для коэффициентов, что требует дополнительного шага.${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle V_{n-k}}$

В псевдоспектральном методе этот член оценивается иначе. Учитывая коэффициенты , обратное дискретное преобразование Фурье дает значение функции в дискретных точках сетки . В этих точках сетки функция затем умножается , а результат обратно преобразовывается Фурье. Это дает новый набор коэффициентов , которые используются вместо матричного произведения .${\displaystyle c_{n}(t)}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x_{j}=2\pi j/N}$${\displaystyle \psi '(x_{i},t)=V(x_{i})\psi (x_{i},t)}$${\displaystyle c'_{n}(t)}$${\displaystyle \sum _{k}V_{n-k}c_{k}(t)}$

Можно показать, что оба метода имеют одинаковую точность. Однако псевдоспектральный метод позволяет использовать быстрое преобразование Фурье, которое масштабируется как и, следовательно, значительно более эффективно, чем матричное умножение. Кроме того, функцию можно использовать напрямую, без вычисления каких-либо дополнительных интегралов.${\displaystyle O(N\ln N)}$${\displaystyle V(x)}$

Техническое обсуждение [ править ]

Говоря более абстрактно, псевдоспектральный метод имеет дело с умножением двух функций и как часть уравнения в частных производных. Для упрощения обозначений зависимость от времени опускается. Концептуально он состоит из трех этапов:${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle f(x)}$

1. ${\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)=V(x)f(x)}$раскладываются в конечный набор базисных функций (это спектральный метод ).
2. Для данного набора базисных функций ищется квадратура, которая преобразует скалярные произведения этих базисных функций в взвешенную сумму по точкам сетки.
3. Произведение рассчитывается путем умножения в каждой точке сетки.${\displaystyle V,f}$

Расширение в основе [ править ]

Функции могут быть разложены в конечный базис как${\displaystyle f,{\tilde {f}}}$${\displaystyle \{\phi _{n}\}_{n=0,\ldots ,N}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=\sum _{n=0}^{N}{\tilde {c}}_{n}\phi _{n}(x)}$

Для простоты пусть базис будет ортогональным и нормализованным, используя внутренний продукт с соответствующими границами . Коэффициенты тогда получаются следующим образом:${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\delta _{nm}}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle }$

Немного расчетов дает тогда

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\sum _{m=0}^{N}V_{n-m}c_{m}}$

с . Это составляет основу спектрального метода. Чтобы отличить базис от квадратурного базиса, разложение иногда называют конечным базисным представлением (FBR).${\displaystyle V_{n-m}=\langle V\phi _{m},\phi _{n}\rangle }$${\displaystyle \phi _{n}}$

Квадратура [ править ]

Для данного базиса и количества базисных функций можно попытаться найти квадратуру, т. Е. Набор точек и весов такой, что${\displaystyle \{\phi _{n}\}}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle N+1}$

${\displaystyle \langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}\phi _{n}(x_{i}){\overline {\phi _{m}(x_{i})}}\qquad \qquad n,m=0,\ldots ,N}$

Частными примерами являются квадратура Гаусса для полиномов и дискретное преобразование Фурье для плоских волн. Следует подчеркнуть, что точки сетки и веса являются функцией основы и числа .${\displaystyle x_{i},w_{i}}$${\displaystyle N}$

Квадратура позволяет альтернативное числовое представление функции через их значения в точках сетки. Это представление иногда называют представлением дискретных переменных (DVR), и оно полностью эквивалентно расширению в базисе.${\displaystyle f(x),{\tilde {f}}(x)}$

${\displaystyle f(x_{i})=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\phi _{n}(x_{i})}$

${\displaystyle c_{n}=\langle f,\phi _{n}\rangle =\sum _{i=0}^{N}w_{i}f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

Умножение [ править ]

Затем умножение на функцию выполняется в каждой точке сетки,${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}(x_{i})=V(x_{i})f(x_{i}).}$

Обычно это вводит дополнительное приближение. Чтобы убедиться в этом, мы можем вычислить один из коэффициентов :${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle {\tilde {f}},\phi _{n}\rangle =\sum _{i}w_{i}{\tilde {f}}(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}=\sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}}$

Однако при использовании спектрального метода коэффициент будет таким же . Таким образом, псевдоспектральный метод вводит дополнительное приближение${\displaystyle {\tilde {c}}_{n}=\langle Vf,\phi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \langle Vf,\phi _{n}\rangle \approx \sum _{i}w_{i}V(x_{i})f(x_{i}){\overline {\phi _{n}(x_{i})}}.}$

Если продукт может быть представлен с заданным конечным набором базисных функций, приведенное выше уравнение является точным из-за выбранной квадратуры.${\displaystyle Vf}$

Специальные псевдоспектральные схемы [ править ]

Метод Фурье [ править ]

Если на систему наложены периодические граничные условия с периодом , базисные функции могут быть порождены плоскими волнами,${\displaystyle [0,L]}$

${\displaystyle \phi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {L}}}e^{-\imath k_{n}x}}$

с , где есть функция потолок .${\displaystyle k_{n}=(-1)^{n}\lceil n/2\rceil 2\pi /L}$${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$

Квадратура для обрезания при задается дискретным преобразованием Фурье . Точки сетки равномерно разнесены, с шагом , а постоянные веса .${\displaystyle n_{\text{max}}=N}$${\displaystyle x_{i}=i\Delta x}$${\displaystyle \Delta x=L/(N+1)}$${\displaystyle w_{i}=\Delta x}$

Для обсуждения ошибки обратите внимание, что продукт двух плоских волн снова является плоской волной с . Таким образом, качественно, если функции могут быть представлены достаточно точно с помощью базисных функций, псевдоспектральный метод дает точные результаты, если используются базисные функции.${\displaystyle \phi _{a}+\phi _{b}=\phi _{c}}$${\displaystyle c\leq a+b}$${\displaystyle f(x),V(x)}$${\displaystyle N_{f},N_{V}}$${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$

Разложение по плоским волнам часто имеет низкое качество и требует сходимости множества базисных функций. Однако преобразование между расширением базиса и представлением сетки может быть выполнено с помощью быстрого преобразования Фурье , которое выгодно масштабируется как . Как следствие, плоские волны - одно из наиболее распространенных расширений, с которыми сталкиваются псевдоспектральные методы.${\displaystyle N\ln N}$

Полиномы [ править ]

Другое распространенное разложение - на классические многочлены. Здесь используется квадратура Гаусса , которая гласит, что всегда можно найти такие веса и точки , что${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=0}^{N}w_{i}p(x_{i})}$

выполняется для любого полинома степени или меньше. Обычно весовая функция и диапазоны выбираются для конкретной задачи и приводят к одной из различных форм квадратуры. Чтобы применить это к псевдоспектральному методу, мы выбираем базисные функции , являющиеся полиномом степени со свойством${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle 2N+1}$${\displaystyle w(x)}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \phi _{n}(x)={\sqrt {w(x)}}P_{n}(x)}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)P_{n}(x)P_{m}(x)dx=\delta _{mn}.}$

В этих условиях образуют ортонормированный базис относительно скалярного произведения . Этот базис вместе с квадратурными точками можно затем использовать для псевдоспектрального метода.${\displaystyle \phi _{n}}$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}dx}$

Для обсуждения ошибки обратите внимание, что если он хорошо представлен базисными функциями и хорошо представлен полиномом степени , их произведение может быть разложено на первые базисные функции, и псевдоспектральный метод даст точные результаты для такого количества базисные функции.${\displaystyle f}$${\displaystyle N_{f}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N_{V}}$${\displaystyle N_{f}+N_{V}}$

Такие многочлены естественным образом встречаются в нескольких стандартных задачах. Например, квантовый гармонический осциллятор идеально раскрывается в полиномы Эрмита, а полиномы Якоби могут использоваться для определения связанных функций Лежандра, обычно возникающих в задачах вращения.

Ссылки [ править ]

• Орзаг, Стивен А. (1969). «Численные методы моделирования турбулентности». Физика жидкостей . 12 (12): II-250. DOI : 10.1063 / 1.1692445 .
• Готтлиб, Дэвид; Орзаг, Стивен А. (1989). Численный анализ спектральных методов: теория и приложения (5-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 978-0898710236.
• Hesthaven, Jan S .; Готлиб, Сигал ; Готтлиб, Дэвид (2007). Спектральные методы для нестационарных задач (1. изд.). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 9780521792110.
• Цзе Шен, Тао Тан и Ли-Лянь Ван (2011) «Спектральные методы: алгоритмы, анализ и приложения» (серия Springer по вычислительной математике, т. 41, Springer), ISBN 354071040X . 
• Трефетен, Ллойд Н. (2000). Спектральные методы в MATLAB (3-е изд.). Филадельфия, Пенсильвания: SIAM. ISBN 978-0-89871-465-4.
• Форнберг, Бенгт (1996). Практическое руководство по псевдоспектральным методам . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780511626357.
• Бойд, Джон П. (2001). Спектральные методы Чебышева и Фурье (2-е изд., Перераб.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0486411835.
• Фунаро, Даниэле (1992). Полиномиальная аппроксимация дифференциальных уравнений . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-46783-0.
• де Фрутос, Хавьер; Ново, Юлия (январь 2000 г.). «Метод спектральных элементов для уравнений Навье - Стокса с повышенной точностью». Журнал СИАМ по численному анализу . 38 (3): 799–819. DOI : 10.1137 / S0036142999351984 .
• Клаудио, Кануто; М. Юсуфф, Хуссаини; Альфио, Квартерони; Томас А., Занг (2006). Основы спектральных методов в одиночных доменах . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-30726-6.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 20.7. Спектральные методы» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.