Теоремы Квиллена A и B

В топологии , разделе математики , теорема Квиллена А дает достаточное условие для того, чтобы классифицирующие пространства двух категорий были гомотопически эквивалентны. Теорема Квиллена B дает достаточное условие для того, чтобы квадрат, состоящий из классифицирующих пространств категорий, был гомотопическим декартовым . Эти две теоремы играют центральную роль в Q-конструкции Квиллена в алгебраической K-теории и названы в честь Даниэля Квиллена .

Теорема Квиллена A. Если функтор такой, что классифицирующее пространство категории запятой стягиваемо для любого объекта d в D , то f индуцирует гомотопическую эквивалентность . ${\ Displaystyle е: C \ к D}$ ${\ Displaystyle В (д \ стрелка вниз е)}$ ${\ Displaystyle д \ вниз е}$ ${\ Displaystyle до н. э. \ в BD}$

Теорема Квиллена B. Если функтор индуцирует гомотопическую эквивалентность для любого морфизма , то существует индуцированная длинная точная последовательность: ${\ Displaystyle е: C \ к D}$ ${\ Displaystyle В (д '\ вниз е) \ к В (д \ вниз е)}$ ${\ Displaystyle д \ к д '}$

В общем, гомотопический слой не является естественно классифицирующим пространством категории: не существует такой естественной категории , что . Теорема Б строится в случае, когда это особенно приятно. ${\ displaystyle Bf: BC \ to BD}$ ${\ Displaystyle Фф}$ ${\ Displaystyle FBf = BFF}$ ${\ Displaystyle Фф}$ ${\ Displaystyle е}$