Q-конструкция

В алгебре Квиллен «S Q-строительный сопоставляющие точная категорию (например, абелева категория ) в алгебраические К-теорию . Более точно, учитывая точная категория С , конструкция создает топологическое пространство таким образом , что это группа Гротендик из C и, когда С является категорией конечно порожденных проективных модулей над кольцом R , для , это я -я К-группа из R${\ displaystyle B ^ {+} C}$${\ displaystyle \ pi _ {0} (B ^ {+} C)}$${\ Displaystyle я = 0,1,2}$${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$в классическом смысле. (Обозначение «+» означает, что конструкция добавляет больше к классифицирующему пространству BC .) Можно положить

${\displaystyle K_{i}(C)=\pi _{i}(B^{+}C)}$

и назовем его я -м К-группа C . Аналогично i -я K-группа C с коэффициентами в группе G определяется как гомотопическая группа с коэффициентами :

${\displaystyle K_{i}(C;G)=\pi _{i}(B^{+}C;G)}$.

Эта конструкция широко применима и используется для определения алгебраической K-теории в неклассическом контексте. Например, можно определить эквивариантную алгебраическую K-теории как из из категории эквивариантных пучков на схеме.${\displaystyle \pi _{*}}$${\displaystyle B^{+}}$

Вальдхаузен «с S-строительная обобщает Q-конструкции в смысле стабильной; фактически, первая, использующая более общую категорию Вальдхаузена , дает спектр вместо пространства. Бинарный комплекс Грейсона также дает конструкцию алгебраической K-теории для точных категорий. ^[1] См. Также K-теорию спектра модулей для K-теории кольцевого спектра .

Строительство [ править ]

Пусть C - точная категория; т. е. аддитивная полная подкатегория абелевой категории, замкнутая относительно расширения. Если в C существует точная последовательность , то стрелка из M ′ называется допустимым моно, а стрелка из M - допустимым epi.${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

Пусть QC - категория, объекты которой совпадают с объектами C, а морфизмы из X в Y - это классы изоморфизма диаграмм , в которых первая стрелка является допустимым epi, а вторая допустимая моно и две диаграммы изоморфны, если они различаются только в средний и между ними есть изоморфизм. Состав морфизмов задается откатом.${\displaystyle X\leftarrow Z\to Y}$

Определим топологическое пространство с помощью где - функтор пространства петель, а - классифицирующее пространство категории QC (геометрическая реализация нерва). Оказывается, он однозначно определен с точностью до гомотопической эквивалентности (так что обозначение оправдано).${\displaystyle B^{+}C}$${\displaystyle B^{+}C=\Omega BQC}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle BQC}$

Q-построение пространства [ править ]

Существует более общее понятие Q-конструкции, которое можно применить к любому хорошему топологическому пространству ^{[2] pg 10} (например, к конечному CW-комплексу). Это определяется как копредел${\displaystyle X}$

${\displaystyle QX={\underset {\rightarrow k}{\text{colim}}}\Omega ^{k}\Sigma ^{k}X}$

где операция приостановки.${\displaystyle \Sigma }$

Операции [ править ]

Каждый кольцевой гомоморфизм индуцирует и , таким образом , где это категория конечно порожденных проективных модулей над R . Легко показать, что это отображение (называемое переносом) согласуется с отображением, определенным во введении Милнора в алгебраическую K-теорию . ^[3] Конструкция также совместима с подвешиванием кольца (ср. Грейсон).${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle B^{+}P(R)\to B^{+}P(S)}$${\displaystyle K_{i}(P(R))=K_{i}(R)\to K_{i}(S)}$${\displaystyle P(R)}$

Сравнение с классической K-теорией кольца [ править ]

Теорема Дэниела Квиллена утверждает, что, когда C - категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом R , это i -я K-группа кольца R в классическом смысле для . Обычное доказательство теоремы (см. Weibel 2013 ) опирается на промежуточную гомотопическую эквивалентность. Если S - симметричная моноидальная категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом, каждый строит (см. Грейсон) категорию, которая обобщает групповую конструкцию Гротендика моноида. Пусть C - точная категория, в которой каждая точная последовательность разбивает, например, категорию конечно порожденных проективных модулей, и положим${\displaystyle \pi _{i}(B^{+}C)}$${\displaystyle i=0,1,2}$ harvnb error: no target: CITEREFWeibel2013 (help)${\displaystyle S^{-1}S}$${\displaystyle S=\operatorname {iso} C}$, Подкатегория C с тем же классом объектов , но с морфизмами , которые являются изоморфизмами в С . Тогда существует «естественная» гомотопическая эквивалентность: ^[4]

${\displaystyle \Omega BQC\simeq B(S^{-1}S)}$.

Эквивалентность строится следующим образом. Пусть E - категория, объекты которой являются короткими точными последовательностями в C, а морфизмы - классами изоморфизма диаграмм между ними. Позвольте быть функтором, который отправляет короткую точную последовательность третьему члену в последовательности. Обратите внимание на волокно , которое является подкатегорией, состоит из точных последовательностей, третий член Х . Это делает E категории расслаивается над . Написав для , существует очевидное (следовательно, естественное) включение в гомотопический слой , которое можно показать как гомотопическую эквивалентность. С другой стороны, по теореме Квиллена B можно показать, что${\displaystyle f:E\to QC}$${\displaystyle f^{-1}(X)}$ ${\displaystyle QC}$${\displaystyle S^{-1}f}$${\displaystyle S^{-1}E\to QC}$${\displaystyle \Omega BQC}$ ${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$${\displaystyle B(S^{-1}S)}$это Гомотопический откат от вдоль и , таким образом, гомотопически эквивалентно .${\displaystyle BS^{-1}f}$${\displaystyle *\to BQC}$${\displaystyle F(BS^{-1}f)}$

Возьмем теперь C , чтобы быть категория конечно порожденных проективных модулей над кольцом R и показывает , что являются из R в классическом смысле для . Прежде всего, по определению . Далее дает нам:${\displaystyle \pi _{i}B(S^{-1}S)}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle i=0,1,2}$${\displaystyle \pi _{0}B(S^{-1}S)=K_{0}(R)}$${\displaystyle GL_{n}(R)=\operatorname {Aut} (R^{n})\to S^{-1}S}$

${\displaystyle BGL(R)=\varinjlim BGL_{n}(R)\to B(S^{-1}S)}$.

(Здесь либо классифицирующее пространство категории, либо пространство Эйленберга – Маклейна типа , составляющее одно и то же.) Изображение фактически лежит в компоненте идентичности, и поэтому мы получаем:${\displaystyle BGL(R)}$${\displaystyle GL(R)}$${\displaystyle K(GL(R),1)}$${\displaystyle B(S^{-1}S)}$

${\displaystyle f:BGL(R)\to B(S^{-1}S)^{0}.}$

Позвольте быть полной подкатегорией в S, состоящей из модулей, изоморфных (таким образом, является связной компонентой, содержащей ). Пусть быть компонент , содержащий R . Тогда по теореме Квиллена${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle BS_{n}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle e\in \pi _{0}(BS)}$

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})\subset H_{p}(B(S^{-1}S))=H_{p}(BS)[\pi _{0}(BS)^{-1}]=H_{p}(BS)[e^{-1}].}$

Таким образом, класс слева имеет форму . Но индуцируется действием . Следовательно,${\displaystyle xe^{-n}}$${\displaystyle x\mapsto xe^{m}}$${\displaystyle R^{m}\in S}$

${\displaystyle H_{p}(B(S^{-1}S)^{0})=\varinjlim H_{p}(BS_{n})=\varinjlim H_{p}(BGL_{n}(R))=H_{p}(BGL(R)),\quad p\geq 0.}$

Поскольку является H -группой,${\displaystyle B(S^{-1}S)^{0}}$

${\displaystyle \pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})=\pi _{1}(B(S^{-1}S)^{0})^{\text{ab}}=H_{1}(B(S^{-1}S)^{0})=H_{1}(BGL(R))=H_{1}(GL(R))=GL(R)^{\text{ab}}=K_{1}(R).}$

Осталось посмотреть есть . Записывая для гомотопического волокна, мы имеем длинную точную последовательность:${\displaystyle \pi _{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle Ff}$

${\displaystyle \pi _{2}(BGL(R))=0\to \pi _{2}(B(S^{-1}S)^{0})\to \pi _{1}(Ff)\to \pi _{1}(BGL(R))=GL(R)\to K_{1}(R).}$

Из теории гомотопии мы знаем, что второй член является центральным; т.е. является центральным расширением . Затем следует из следующей леммы , которая является универсальным центральным расширением (то есть, является группа Steinberg из R и ядро .)${\displaystyle \pi _{1}(Ff)\to E(R)}$${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$${\displaystyle \pi _{1}(Ff)}$${\displaystyle K_{2}(R)}$

Доказательство: Гомотопия типа не изменится , если мы заменим п на откате вдоль универсального накрытия Y . Таким образом, мы можем заменить гипотезу об односвязности Y и . Теперь спектральные последовательности Серра для и говорят:${\displaystyle Ff}$${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ ${\displaystyle \to Y}$${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} ),p\geq 0}$${\displaystyle Ff\to X\to Y}$${\displaystyle *\to Y\to Y}$

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(Ff,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(X,\mathbb {Z} ),}$

${\displaystyle {}^{2}E'_{pq}=H_{p}(Y,H_{q}(*,\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Y,\mathbb {Z} ).}$

Из теоремы сравнения для спектральных последовательностей следует, что ; т.е. является ациклическим . (По совпадению, изменив рассуждение, можно сказать, что из этого следует, таким образом, гипотеза леммы.) Затем спектральная последовательность для покрытия группой говорит:${\displaystyle {}^{2}E_{0q}={}^{2}E'_{0q}}$${\displaystyle Ff}$${\displaystyle H_{p}(X,\mathbb {Z} )\simeq H_{p}(Y,\mathbb {Z} );}$ ${\displaystyle {\widetilde {Ff}}\to Ff}$${\displaystyle G=\pi _{1}(Ff)}$

${\displaystyle {}^{2}E_{pq}=H_{p}(G,H_{q}({\widetilde {Ff}},\mathbb {Z} ))\Rightarrow H_{p+q}(Ff,\mathbb {Z} )=H_{p+q}(*,\mathbb {Z} ).}$

Рассмотрение этой спектральной последовательности дает желаемый результат.

Ссылки [ править ]

• Дэниел Грейсон, Высшая алгебраическая K-теория II [по Дэниелу Квиллену] , 1976 г.
• Шринивас, В. (2008), алгебраическая K -теория , Современная классика Birkhäuser (Мягкая обложка Перепечатка 1996 2 - е изд.), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl  1125,19300
• Вейбель, Чарльз , K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию CS1 maint: discouraged parameter (link)