Категория Вальдхаузена

В математике , категория Вальдхаузена является категория C оснащена некоторыми дополнительными данными, что позволяет построить K-теории спектра на C с использованием так называемого S-строительства . Он назван в честь Фридхельма Вальдхаузена , который ввел это понятие (под термином категория с кофибрациями и слабыми эквивалентностями ), чтобы расширить методы алгебраической K-теории на категории, не обязательно алгебраического происхождения, например категорию топологических пространств .

Определение [ править ]

Пусть C - категория, co ( C ) и we ( C ) - два класса морфизмов в C , называемые кофибрациями и слабыми эквивалентностями соответственно. Тройка ( C , co ( C ), we ( C )) называется категорией Вальдхаузена, если она удовлетворяет следующим аксиомам, мотивированным аналогичными свойствами для понятий корасслоений и слабой гомотопической эквивалентности топологических пространств:

• C имеет нулевой объект , обозначенный 0;
• изоморфизмы включены как в co ( C ), так и в we ( C );
• co ( C ) и we ( C ) замкнуты относительно композиции;
• для каждого объекта A ∈ C единственное отображение 0 → A является корасслоением, т. е. элементом co ( C );
• co ( C ) и we ( C ) в определенном смысле совместимы с выталкиванием .

Например, если это кофибрация и любая карта, то должен существовать выталкивание , а естественная карта должна быть кофибрациями:${\ Displaystyle \ scriptstyle A \, \ rightarrowtail \, B}$${\ Displaystyle \ scriptstyle A \, \ to \, C}$${\ Displaystyle \ scriptstyle B \, \ cup _ {A} \, C}$${\ Displaystyle \ scriptstyle C \, \ rightarrowtail \, B \, \ cup _ {A} \, C}$

Отношения с другими понятиями [ править ]

В алгебраической K-теории и теории гомотопий есть несколько понятий категорий, снабженных определенными классами морфизмов. Если C имеет структуру точной категории , то по определению мы ( C ) , чтобы быть изоморфизмами, со ( С ) , чтобы быть допустимыми мономорфизмами, получается структура категории Вальдхаузен на C . Оба вид структуры может быть использован для определения K-теории о С , с использованием Q-конструкции для точной структуры и S-конструкции для структуры Вальдхаузена. Важным фактом является то, что полученные пространства K-теории гомотопически эквивалентны.

Если C является модельной категорией с нулевым объектом, то полной подкатегории софибрантных объектов в C может быть присвоена структура Вальдхаузена.

S-конструкция [ править ]

Вальдхаузен S-строительный производит из категории Вальдхаузена С найдется последовательность Кан комплексов , который образует спектр . Пусть обозначим пространство петель геометрической реализации в . Тогда группа${\ Displaystyle S_ {п} (С)}$${\ Displaystyle К (С)}$${\ displaystyle | S _ {*} (C) |}$${\ Displaystyle S _ {*} (К)}$

${\ Displaystyle \ пи _ {п} К (С) = \ пи _ {п + 1} | S _ {*} (С) |}$

является п -й K -группы из C . Таким образом, это дает возможность определять высшие K -группы. Другой подход к высшей K -теории - Q-конструкция Квиллена .

Строительство принадлежит Фридхельму Вальдхаузену .

категории biWaldhausen [ править ]

Категория C оснащена бифибрациями, если у нее есть кофибрации, и ее противоположная категория C ^OP имеет то же самое . В этом случае мы обозначаем расслоения C ^OP через quot ( C ). В этом случае C является категорией бивальдхаузена, если C имеет бифибрации и слабые эквивалентности, такие что как ( C , co ( C ), we), так и ( C ^OP , quot ( C ), we ^OP ) являются категориями Вальдхаузена.

Категории Вальдхаузена и бивальдхаузена связаны с алгебраической K-теорией . Там много интересных категорий являются сложными категориями Бивальдхаузена. Например: категория ограниченных цепных комплексов на точной категории . Категория функторов, когда это так. И, учитывая диаграмму , это хорошая сложная категория Бивальдхаузена, когда она есть.${\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {b} ({\ mathcal {A}})}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle S_ {п} {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ OperatorName {Ar} (\ Delta ^ {n}) \, \ to \, {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle I}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}^{I}}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$

Ссылки [ править ]

• Вальдхаузен, Фридхельм (1985), «Алгебраическая K-теория пространств», алгебраическая и геометрическая топология (Нью-Брансуик, штат Нью-Джерси, 1983 (PDF) , конспект лекций по математике, 1126 , Берлин: Springer, стр. 318–419, doi : 10.1007 / BFb0074449 , ISBN 978-3-540-15235-4, Руководство по ремонту  0802796 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• К. Вейбель, K-книга, введение в алгебраическую K-теорию - http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
• Гаркуша Г. Системы категорий диаграмм и K-теория - http://front.math.ucdavis.edu/0401.5062
• Сагаве, С. (2004). «Об алгебраической K-теории модельных категорий». Журнал чистой и прикладной алгебры . 190 (1–3): 329–340. DOI : 10.1016 / j.jpaa.2003.11.002 .
• Лурье, Якоб , Высшая K-теория ∞-категорий (Лекция 16) (PDF) CS1 maint: discouraged parameter (link)

См. Также [ править ]

• Завершить пространство Сигала

Внешние ссылки [ править ]

• «Вальдхаузен С-Констракшн» . nLab .