K -теория категории

Эта статья - сирота , так как никакие другие статьи не ссылаются на нее . Пожалуйста, введите ссылки на эту страницу из связанных статей ; попробуйте инструмент "Найти ссылку", чтобы получить предложения. ( Ноябрь 2017 г. )

В алгебраической K - теории , то К -теория в категории C (обычно оборудованный с какой - то дополнительных данных) представляет собой последовательность абелевых групп К _я ( С ) , связанных с ним. Если C - абелева категория , нет необходимости в дополнительных данных, но в целом имеет смысл говорить о K-теории только после определения на C структуры точной категории , или категории Вальдхаузена , или dg- категория, а возможно и другие варианты. Таким образом, существует несколько конструкций этих групп, соответствующие различным видам структур положить на C . Традиционно К -теория C является определяются как результат подходящей конструкции, но в некоторых контекстах есть более концептуальные определения. Например, K -теория является «универсальным аддитивным инвариантом» dg-категорий ^[1] и малых стабильных ∞-категорий . ^[2]

Мотивация для этого понятия происходит от алгебраической K-теории из колец . Для кольца R Дэниел Квиллен в работе Quillen (1973) ввел два эквивалентных способа нахождения высшей K-теории. Конструкция плюс выражает K _i ( R ) через R напрямую, но трудно доказать свойства результата, в том числе такие базовые, как функториальность. Другой способ - рассмотреть точную категорию проективных модулей над R и установить K _i ( R ) как K-теорию этой категории, определенную с помощьюQ-конструкция . Этот подход оказался более полезным, и его можно было применить и к другим точным категориям. Позднее Фридхельм Вальдхаузен в работе Waldhausen (1985) расширил понятие K-теории еще дальше, охватив самые разные категории, включая категорию топологических пространств .

K-теория категорий Вальдхаузена [ править ]

В алгебре S-конструкция - это конструкция в алгебраической K-теории, которая производит модель, которую можно использовать для определения высших K-групп. Это связано с Фридхельмом Вальдхаузеном и относится к категории с кофибрациями и слабыми эквивалентностями; такая категория называется категорией Вальдхаузена и обобщает точную категорию Квиллена . Кофибрация может рассматриваться как аналог мономорфизма , а категория с кофибрациями - это категория, в которой, грубо говоря, мономорфизмы стабильны относительно выталкиваний . ^[3] Согласно Вальдхаузену, буква «S» была выбрана для обозначения Грэма Б. Сегала . ^[4]

В отличие от Q-конструкции , которая производит топологическое пространство, S-конструкция производит симплициальное множество .

Подробности [ править ]

Стрелка категории из категории C категория, объектами которой являются морфизмы в С , а морфизмами квадраты в C . Пусть конечное упорядоченное множество обычным образом рассматривается как категория.${\ displaystyle Ar (C)}$${\ Displaystyle [п] = \ {0 <1 <2 <\ cdots <п \}}$

Пусть C категория с корасслоений и пусть будет категория, объектами которой являются функторы , что для , , является корасслоением, и это Кодекартов Квадрат из и . Категория, определенная таким образом, сама по себе является категорией с кофибрациями. Таким образом, можно повторять построение, формируя последовательность . Эта последовательность представляет собой спектр называется К-теория спектра из C .${\ displaystyle S_ {n} C}$${\ displaystyle f: Ar [п] \ к C}$${\ Displaystyle я \ leq j \ leq k}$${\ Displaystyle F (я = я) = *}$${\displaystyle f(i\leq j)\to f(i\leq k)}$${\displaystyle f(j\leq k)}$${\displaystyle f(i\leq j)\to f(i\leq k)}$${\displaystyle f(i\leq j)\to f(j=j)=*}$${\displaystyle S_{n}C}$${\displaystyle S^{(m)}C=S\cdots SC}$

Теорема аддитивности [ править ]

Большинство основных свойств алгебраической K-теории категорий являются следствием следующей важной теоремы. ^[5] Есть его версии во всех доступных настройках. Вот утверждение для категорий Вальдхаузена. Примечательно, что он используется, чтобы показать, что последовательность пространств, полученная повторной S-конструкцией, является Ω-спектром .

Пусть C - категория Вальдхаузена . Категория расширений имеет в качестве объектов последовательности в C , где первая карта является кофибрациями, и является факторной картой, то есть выталкиванием первой по нулевой карте A → 0 . Эта категория имеет естественную структуру Вальдхаузена, и забывчивый функтор из в C × C ее уважает. Теорема аддитивности утверждает, что индуцированное отображение на пространствах K-теории является гомотопической эквивалентностью. ^[6]${\displaystyle {\mathcal {E}}(C)}$${\displaystyle A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow A'}$${\displaystyle B\twoheadrightarrow A'}$ ${\displaystyle [A\rightarrowtail B\twoheadrightarrow A']\mapsto (A,A')}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(C)}$${\displaystyle K({\mathcal {E}}(C))\to K(C)\times K(C)}$

Для dg-категорий утверждение аналогично. Пусть C - малая предтриангулированная dg-категория с полуортогональным разложением . Тогда отображение спектров K-теории K ( C ) → K ( C ₁ ) ⊕ K ( C ₂ ) является гомотопической эквивалентностью. ^[7] Фактически, K-теория является универсальным функтором, удовлетворяющим этому свойству аддитивности и инвариантности Морита . ^[1]${\displaystyle C\cong \langle C_{1},C_{2}\rangle }$

Категория конечных множеств [ править ]

Рассмотрим категорию отмеченных конечных множеств. В этой категории есть объект для каждого натурального числа k , и морфизмы в этой категории - это функции, сохраняющие нулевой элемент. Теорема Барратта, Придди и Квиллена гласит, что алгебраическая K-теория этой категории представляет собой сферический спектр . ^[4]${\textstyle k_{+}=\{0,1,\ldots ,k\}}$ ${\textstyle f:m_{+}\to n_{+}}$

Разное [ править ]

В более общем плане в абстрактной теории категорий K-теория категории - это тип декатегоризации, в которой множество создается из класса эквивалентности объектов в стабильной (∞, 1) -категории, где элементы множества наследуют Структура абелевой группы из точных последовательностей в категории. ^[8]

Метод завершения группы [ править ]

Конструкция группы Гротендика - это функтор из категории колец в категорию абелевых групп. Тогда высшая K -теория должна быть функтором из категории колец, но из категории высших объектов, таких как симплициальные абелевы группы .

Топологические гомологии Хохшильда [ править ]

Вальдхаузен ввел идею отображения следов из алгебраической K -теории кольца в его гомологии Хохшильда ; с помощью этого отображения можно получить информацию о K -теории из гомологий Хохшильда. Бёкстедт факторизовал это отображение следов, что привело к идее функтора, известного как топологические гомологии Хохшильда спектра Эйленберга – Маклейна кольца . ^[9]

K-теория симплициального кольца [ править ]

Если R - постоянное симплициальное кольцо, то это то же самое, что K -теория кольца.

См. Также [ править ]

• Космос Володина
• Семейная гомология

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Лурье , Высшая алгебра , последнее обновление: август 2017 г.
• Toën, B .; Веццози, Г. (2004). «Замечание о K -теории и S- категориях». Топология . 43 (4): 765–791. arXiv : математика / 0210125 . DOI : 10.1016 / j.top.2003.10.008 .
• Карлссон, Гуннар (2005). "Разборки в алгебраической K-теории" (PDF) . В Friedlander, Eric M .; Грейсон, Дэниел Р. (ред.). Справочник по K-теории . Springer Berlin Heidelberg. С. 3–37. DOI : 10.1007 / 978-3-540-27855-9_1 . ISBN 9783540230199.
• Куиллен, Дэниел (1973), "Высшая алгебраическая K-теория. I", Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Сиэтл, Вашингтон, 1972) , Лекционные заметки в Математика, 341 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., стр 85-147, DOI : 10.1007 / BFb0067053 , ISBN 978-3-540-06434-3, Руководство по ремонту  0338129
• Вальдхаузен, Фридхельм (1985). «Алгебраическая K-теория пространств» . Алгебраическая и геометрическая топология . Конспект лекций по математике. 1126 : 318–419. DOI : 10.1007 / BFb0074449 . ISBN 978-3-540-15235-4.
• Томасон, Роберт В. (1979). «Спектральные последовательности первого квадранта в алгебраической K-теории» (PDF) . Алгебраическая топология Орхус 1978 . Springer. С. 332–355.
• Блумберг, Эндрю Дж; Гепнер, Дэвид; Табуада, Гонсало (18 апреля 2013 г.). «Универсальная характеристика высшей алгебраической K-теории». Геометрия и топология . 17 (2): 733–838. arXiv : 1001,2282 . DOI : 10,2140 / gt.2013.17.733 . ISSN  1364-0380 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Гейссер, Томас (2005). «Карта циклотомических следов и значения дзета-функций». Алгебра и теория чисел . Книжное агентство Индостана, Гургаон. С. 211–225. arXiv : math / 0406547 . DOI : 10.1007 / 978-93-86279-23-1_14 . ISBN 978-81-85931-57-9.

Относительно недавнего подхода к ∞-категориям см.

• Дикерхофф, Тобиас; Капранов, Михаил (2012-12-14). «Высшие пространства Сигала I». arXiv : 1212.3563 [ math.AT ].