Эквивариантный пучок

В математике, дается действие на виде схему группы G на схему X над базовой схемой S , давали Эквивариантный пучок , F на X является пучком -модулей вместе с изоморфизмом -модулей${\ displaystyle \ sigma: G \ times _ {S} от X \ до X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}$

${\displaystyle \phi :\sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$  

который удовлетворяет условию коцикла: ^{[1] [2]} записывая m для умножения,

${\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }$.

Примечания к определению [ править ]

На уровне стержня условие коцикла говорит, что изоморфизм такой же, как и композиция ; т. е. ассоциативность действия группы. Унитарность группового действия также является следствием: применитесь к обеим сторонам, чтобы получить, и тождество тоже .${\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}}$${\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}}$${\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G}$${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi }$${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi }$

Обратите внимание, что это дополнительные данные; это «лифт» действия группы G на X к пучку F . Более того, когда G - связная алгебраическая группа, F - обратимый пучок и X редуцирован, условие коцикла является автоматическим: любой изоморфизм автоматически удовлетворяет условию коцикла (этот факт отмечается в конце доказательства главы 1, § 3. ., Предложение 1.5. «Геометрической теории инвариантов» Мамфорда.)${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$

Если действие группы G свободно, то понятие эквивариантного пучка упрощается до пучка на факторе X / G из-за спуска по торсорам .

По лемме Йонеды описать структуру эквивариантного пучка для -модуля F - это то же самое, что дать групповые гомоморфизмы для колец R над ,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)}$. ^[3]

Существует также определение эквивариантных пучков в терминах симплициальных пучков . В качестве альтернативы можно определить эквивариантный пучок как эквивариантный объект в категории, скажем, когерентных пучков.

Линеаризованные линейные связки [ править ]

Структура эквивариантного пучка на обратимом пучке или линейном расслоении также называется линеаризацией .

Пусть X - полное многообразие над алгебраически замкнутым полем, на котором действует связная редуктивная группа G, а L - обратимый пучок на нем. Если X нормально, то некоторый тензор мощность из L линеаризуема. ^[4]${\displaystyle L^{n}}$

Кроме того, если L очень обильно и линеаризовано, то существует G -линейное замкнутое погружение из X в такое, которое линеаризуется, и линеаризация на L индуцируется погружением . ^[5]${\displaystyle \mathbf {P} ^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$

Тензорные произведения и инверсии линеаризованных обратимых пучков снова линеаризуются естественным образом. Таким образом, классы изоморфизма линеаризованных обратимых пучков на схеме X образуют подгруппу группы Пикара X .

См. Пример 2.16 в [1], где приведен пример многообразия, для которого большинство линейных расслоений не линеаризуемы.

Двойное действие на сечениях эквивариантных пучков [ править ]

Для алгебраической группы G и G -эквивариантного пучка F на X над полем k пусть - пространство глобальных сечений. Тогда он допускает структуру G -модуля; то есть, V представляет собой линейное представление из G следующим образом . Запись для группового действия для каждого g в G и v в V , пусть${\displaystyle V=\Gamma (X,F)}$${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$

${\displaystyle \pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}$

где и изоморфизм задается структурой эквивариантная-пучок на F . Тогда условие коцикла гарантирует, что это гомоморфизм группы (т. Е. Представление).${\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)}$${\displaystyle \varphi :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V}$${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle \pi }$

Пример : взять и действие G на себя. Тогда , и${\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}}$${\displaystyle \sigma =}$${\displaystyle V=k[G]}$${\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}$

${\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)}$,

смысл является левым регулярным представлением из G .${\displaystyle \pi }$

Представление, определенное выше, является рациональным представлением : для каждого вектора v в V существует конечномерный G -подмодуль V , содержащий v . ^[6]${\displaystyle \pi }$

Эквивариантное векторное расслоение [ править ]

Проще определение векторного расслоения (т. Е. Многообразия, соответствующего локально свободному пучку постоянного ранга). Мы говорим, что векторное расслоение E на алгебраическом многообразии X, на котором действует алгебраическая группа G , эквивариантно, если G действует послойно: т. Е. Является «линейным» изоморфизмом векторных пространств. ^[7] Другими словами, эквивариантное векторное расслоение - это пара, состоящая из векторного расслоения и поднятия действия до действия , так что проекция эквивариантна.${\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}}$${\displaystyle G\times X\to X}$${\displaystyle G\times E\to E}$${\displaystyle E\to X}$

Как и в случае неэквивариантной ситуации, можно определить эквивариантный характеристический класс эквивариантного векторного расслоения.

Примеры [ править ]

• Касательное расслоение многообразия или гладкого многообразия является эквивариантным векторным расслоением.
• Пучок эквивариантных дифференциальных форм .
• Пусть G полупростая алгебраическая группа и λ: H → C символ на максимальном торе Н . Это продолжается до борелевской подгруппы X: B → C , давая одно мерное представление W _Х из B . Тогда GxW _λ - тривиальное векторное расслоение над G, на котором действует B. Фактор L _λ = Се _В Вт _λ под действием B представляет собой линейное расслоение над многообразием флагов G / B . Обратите внимание, что G → G / B - это Bbundle, так что это всего лишь пример конструкции связанного комплекта. Теорема Бореля-Вейля-Ботта утверждает, что все представления группы G возникают как когомологии таких линейных расслоений.
• Если X = Spec (А) является аффинным, схемой G _м -действие на X то же самое , как Z градуировку на A . Точно так же эквивариантный квазикогерентный пучок G _m на X - это то же самое, что и Z- градуированный A- модуль. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• Эквивариантная алгебраическая K-теория
• Эквивариантный пучок
• Эквивариантные когомологии
• Факторный стек

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Бернштейн, В. Лунц, "Эквивариантные пучки и функторы", Конспект лекций Springer по математике. 1578 (1994).
• Мамфорд, Дэвид; Fogarty, J .; Кирван Ф. Геометрическая теория инвариантов . Третье издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Результаты по математике и смежным областям (2)), 34. Springer-Verlag, Berlin, 1994. xiv + 292 pp. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4 
• Д. Гайцгори, Теория геометрических представлений, Math 267y, осень 2005 г.
• Томасон, RW: Алгебраическая K-теория действий групповых схем. В: Браудер У. (ред.) Алгебраическая топология и алгебраическая K-теория. (Ann. Math. Stud., Том 113, стр. 539–563) Princeton: Princeton University Press, 1987

Внешние ссылки [ править ]

• Эквивариантные пучки