В математике, более конкретно , в теории гомотопий , симплициальная Предпучок является предпучка на сайте (например, категория из топологических пространств ) , принимающие значения в симплициальных множествах (т.е. контравариантный функтор из сайта в категорию симплициальных множеств). Эквивалентно, симплициальный предпучок - это симплициальный объект в категории предпучков на сайте. Понятие было введено А. Джоялом в 1970-е годы. [1] Точно так же симплициальный пучок на сайте - это симплициальный объект в категории пучков на сайте. [2]
Пример: Рассмотрим сайт этальных схемы S . Каждая буква U на сайте представляет собой предпучок.. Таким образом, симплициальная схема , симплициальный объект в узле, представляет собой симплициальный предпучок (фактически, часто симплициальный пучок).
Пример: пусть G - предпучок группоидов. Затем рассекая нервы по разрезам, получаем симплициальный предпучок. Например, можно установить. Подобные примеры появляются в K-теории.
Если является локальной слабой эквивалентностью симплициальных предпучков, то индуцированное отображение также является локальной слабой эквивалентностью.
Гомотопические пучки симплициального предпучка
Пусть F - симплициальный предпучок на сайте. В гомотопич шкивы из F определяется следующим образом . Для любойв узле и 0-симплекс s в F ( X ), положим а также . Затем мы устанавливаем быть связкой, связанной с предварительным пучком .
Модельные конструкции
Категория симплициальных предпучков на сайте допускает множество различных модельных структур .
Некоторые из них получаются при рассмотрении симплициальных предпучков как функторов
Категория таких функторов наделена (как минимум) тремя модельными структурами, а именно проективной структурой, структурой Риди и инъективной структурой модели. Слабые эквивалентности / расслоения в первом - это отображения
такой, что
является слабой эквивалентностью / Расслоение симплициальных множеств, для всех U в месте S . Структура инъективной модели аналогична, но со слабыми эквивалентностями и кофибрациями.
Куча
Симплициальный предпучок F на сайте называется стеком, если для любого X и любого гиперпокрытия H → X каноническое отображение
является слабой эквивалентностью , как симплициальные множества, где право является пределом Гомотопического из
- .
Любую связку F на сайте можно рассматривать как стопку, просмотревкак постоянное симплициальное множество; таким образом, категория пучков на сайте включается в качестве подкатегории в гомотопическую категорию симплициальных предпучков на сайте. Функтор включения имеет левый сопряженный элемент, и это в точности.
Если A - пучок абелевой группы (на том же сайте), то определимклассифицируя конструкцию пространства по уровням (понятие происходит из теории препятствий ) и положим. Можно показать (по индукции): для любого X на сайте
где слева обозначены когомологии пучка, а справа - гомотопический класс отображений.
Смотрите также
Заметки
дальнейшее чтение
- Конрад Фелькель, Модельные структуры на симплициальных предпучках
Рекомендации
- Жардин, Дж. Ф. (2004). "Обобщенные теории когомологий пучков". В Гринлисе, JPC (ред.). Аксиоматическая, обогащенная и мотивирующая теория гомотопии. Труды Института перспективных исследований НАТО, Кембридж, Великобритания, 9--20 сентября 2002 . Наука НАТО II: математика, физика и химия. 131 . Дордрехт: Kluwer Academic. С. 29–68. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl 1063.55004 .
- Жардин, JF (2007). "Симплициальные предпучки" (PDF) .
- Б. Тоен, Симплициальные предпучки и производная алгебраическая геометрия