Нерв (теория категорий)

В теории категорий , дисциплина в пределах математики, то нерв Н ( С ) из малой категории C представляет собой симплициальное множество строится из объектов и морфизмов C . Геометрическая реализация этого симплициального множества является топологическим пространством , называется классифицирующее пространство категории С . Эти тесно связанные объекты могут предоставить информацию о некоторых знакомых и полезных категориях с использованием алгебраической топологии , чаще всего теории гомотопии .

Мотивация [ править ]

Нерв категории часто используется для построения топологических версий пространств модулей . Если X является объектом C , его пространство модулей должно каким-то образом кодировать все объекты, изоморфные X, и отслеживать различные изоморфизмы между всеми этими объектами в этой категории. Это может стать довольно сложным, особенно если у объектов много нетождественных автоморфизмов. Нерв обеспечивает комбинаторный способ организации этих данных. Поскольку симплициальные множества имеют хорошую гомотопическую теорию, можно задать вопросы о значении различных гомотопических групп π _n ( N ( C)). Можно надеяться, что ответы на такие вопросы предоставят интересную информацию об исходной категории C или о связанных категориях.

Понятие нерва является прямым обобщением классического понятия классифицирующего пространства дискретной группы; подробности см. ниже.

Строительство [ править ]

Пусть C - малая категория. Для каждого объекта C существует 0-симплекс N ( C ) . Для каждого морфизма f : x → y в C существует 1-симплекс . Теперь предположим , что п : х → у и г : у → г морфизмы в С . Тогда у нас также есть их композиция gf : x → z .

2-симплекс.

Схема предлагает наш курс действий: добавьте 2-симплекс для этого коммутативного треугольника. Таким образом, каждый 2-симплекс N ( C ) получается из пары составных морфизмов. Добавление этих 2-симплексов не стирает и не игнорирует морфизмы, полученные путем композиции, а просто запоминает, как они возникают.

В общем случае N ( C ) _k состоит из k -наборов составных морфизмов

{\ displaystyle A_ {0} \ to A_ {1} \ to A_ {2} \ to \ cdots \ to A_ {k-1} \ to A_ {k}}

из C . Чтобы завершить определение N ( C ) как симплициального множества, мы должны также указать грань и карты вырождения. Они также предоставляются нам структурой C как категории. Карты лица

d_{i}\colon N(C)_{k}\to N(C)_{k-1}

задаются композицией морфизмов на i- м объекте (или удалением i- го объекта из последовательности, когда i равно 0 или k ). ^[1] Это означает, что d _i отправляет k -набор

A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}

к ( k - 1) -набору

A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}.

То есть отображение d _i составляет морфизмы A _{i −1} → A _i и A _i → A _{i +1} в морфизм A _{i −1} → A _{i +1} , давая ( k - 1) -набор для каждого k -комплект.

Аналогично отображения вырождения

s_{i}:N(C)_{k}\to N(C)_{k+1}

задаются путем вставки тождественного морфизма в объект A _i .

Симплициальные множества также можно рассматривать как функторы Δ ^op → Set , где Δ - категория вполне упорядоченных конечных множеств и сохраняющих порядок морфизмов. Каждый частично упорядоченное множество Р дает (небольшой) категории я ( P ) с объектами элементы Р и с уникальным морфизма из р к д всякий раз , когда р ≤ д в Р . Таким образом, мы получаем функтор i из категории Δ в категорию малых категорий. Теперь мы можем описать нерв категории C как функтор ∆ ^op → Набор

N(C)(?)=\mathrm {Fun} (i(?),C).\,

Такое описание нерва делает прозрачной функториальность; например, функтор между малыми категориями C и D индуцирует отображение симплициальных множеств N ( C ) → N ( D ). Более того, естественное преобразование между двумя такими функторами индуцирует гомотопию между индуцированными отображениями. Это наблюдение можно рассматривать как начало одного из принципов теории высших категорий . Отсюда следует, что присоединенные функторы индуцируют гомотопические эквивалентности . В частности, если у C есть начальный или конечный объект , его нерв сокращаем.

Примеры [ править ]

Изначальное примером является классифицирующим пространством дискретной группы G . Мы рассматриваем G как категорию с одним объектом которого эндоморфизмами являются элементами G . Затем к -simplices из N ( G ) только K -грамм элементов из G . Карты граней действуют путем умножения, а карты вырождения действуют путем вставки единичного элемента. Если G - группа с двумя элементами, то для каждого целого неотрицательного числа k существует ровно один невырожденный k -симплекс , соответствующий единственному k -набору элементов группы Gне содержащие личности. После перехода к геометрической реализации этот k -набор можно отождествить с единственной k- клеткой в обычной структуре CW на бесконечномерном вещественном проективном пространстве . Последняя является наиболее популярной моделью для классификации пространства группы с двумя элементами. См. (Segal 1968) для получения дополнительных сведений и связи вышеизложенного с объединенным построением BG Милнором .

Большинство пространств классифицируют пробелы [ править ]

Всякое «разумное» топологическое пространство гомеоморфно классифицирующему пространству малой категории. Здесь «разумный» означает, что рассматриваемое пространство является геометрической реализацией симплициального множества. Очевидно, это необходимое условие; этого тоже достаточно. Действительно, пусть X будет геометрическая реализация симплициального множества K . Множество симплексов в K частично упорядочено соотношением x ≤ y тогда и только тогда, когда x является гранью y . Мы можем рассматривать этот частично упорядоченный набор как категорию. Нерв этой категории является барицентрическим подразделением из K , и , таким образом , его реализация гомеоморфноX , поскольку X является реализацией K по гипотезе, а барицентрическое подразделение не меняет тип гомеоморфизма реализации.

Нерв открытого покрытия [ править ]

Если X - топологическое пространство с открытым покрытием U _i , нерв покрытия получается из приведенных выше определений путем замены покрытия категорией, полученной путем рассмотрения покрытия как частично упорядоченного множества с отношением включения множества. Обратите внимание, что реализация этого нерва, как правило, не гомеоморфна X (или даже гомотопически эквивалентна).

Пример модуля [ править ]

Можно использовать нервную конструкцию для восстановления картографических пространств и даже для получения «более высокогомотопической» информации о картах. Пусть D некоторая категория, и пусть X и Y быть объектами D . Один из часто заинтересован в вычислении множества морфизмов X → Y . Мы можем использовать нервную конструкцию, чтобы восстановить этот набор. Пусть C = C ( X , Y ) - категория, объектами которой являются диаграммы

X\longleftarrow U\longrightarrow V\longleftarrow Y

таким образом, что морфизмы U → X и Y → V -изоморфизмы в D . Морфизмы в C ( X , Y ) - это диаграммы следующего вида:

Здесь указанные отображения должны быть изоморфизмами или тождествами. Нерв C ( X , Y ) является пространством модулей отображений X → Y . В соответствующей модели категории настроек, это пространство модулей слабо гомотопический эквивалентно симплициальное множество морфизмов D из X в Y .

Ссылки [ править ]

^ Тогда i- я грань симплекса - это та, у которой отсутствует i- я вершина.

Blanc, D., WG Dwyer и PG Goerss. «Пространство реализации a -алгебры: проблема модулей в алгебраической топологии». Топология 43 (2004), вып. 4, 857–892. $\Pi$
Герс, П. Г. и М. Дж. Хопкинс. « Пространства модулей коммутативных кольцевых спектров ». Структурированные кольцевые спектры , 151–200, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 315, Cambridge Univ. Press, Кембридж, 2004.
Сигал, Грэм. «Классифицирующие пространства и спектральные последовательности». Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика. № 34 (1968) 105–112.
Нерв в nLab

[1] Тогда i- я грань симплекса - это та, у которой отсутствует i- я вершина.

[1]