В топологии , то нерв открытого покрытия является построением абстрактного симплициального комплекса из открытого покрытия из более топологического пространства X , который захватывает многие из интересных топологических свойств в алгоритмическом или комбинаторном пути. Он был введен Павлом Александровым [1] и теперь имеет множество вариантов и обобщений, в том числе чешский нерв покрытия, которое, в свою очередь, обобщается гиперпокрытиями . [2]
Определение Александрова
Позволять быть топологическим пространством, быть индексным набором исемейство открытых подмножеств в проиндексировано . Нерва из является набором конечных подмножеств индекс-множества . Он содержит все конечные подмножества такое, что пересечение чьи подиндексы находятся в не пусто:
может содержать синглтоны (элементы такой, что непусто), пары (пары элементов такой, что ), тройняшек и т. д. Если, то любое подмножество также в , изготовление абстрактный симплициальный комплекс , часто называют нерв комплекс из.
Примеры
1. Пусть X - окружность S 1 и C = { U 1 , U 2 }, где U 1 - дуга, покрывающая верхнюю половину S 1, а U 2 - дуга, покрывающая ее нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон. (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы покрыть всю площадь S 1 ). Тогда N (C) = {{1}, {2}, {1,2}}, что является абстрактным 1-симплексом.
2. Пусть X - окружность S 1 и C = { U 1 , U 2 , U 3 }, где каждый U i - дуга, покрывающая одну треть S 1 , с некоторым перекрытием со смежным U i . Тогда N (C) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}}. Обратите внимание, что {1,2,3} не входит в N ( C ), поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто.
Чешский нерв
Учитывая открытую обложку топологического пространства , или, в более общем смысле, покрытие на сайте, мы можем рассматривать попарные изделия из волокон , которые в случае топологического пространства являются в точности пересечениями . Совокупность всех таких пересечений можно назвать и тройные пересечения как .
Рассматривая естественные карты а также , мы можем построить симплициальный объект определяется , n-кратное волокнистое изделие. Это чешский нерв. [3]
Взяв компоненты связности, мы получаем симплициальное множество , которое мы можем реализовать топологически:.
Теоремы о нервах
В целом, комплекс N ( С ) потребность не отражает топологию X точно. Например, мы можем покрыть любую n -сферу двумя стягиваемыми множествами U 1 и U 2, которые имеют непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае N (C) представляет собой абстрактный 1-симплекс, который похож на линию, но не на сферу.
Однако, в некоторых случаях N ( C ) действительно отражает топологию X . Например, если окружность покрыта тремя открытыми дугами, попарно пересекающимися, как в примере 2 выше, то N ( C ) является 2-симплексом (без его внутренней части) и гомотопически эквивалентен исходной окружности.
Теорема нерва (или нерв лемма ) является теоремой , которая дает достаточные условия на C , гарантирующие , что Н ( С ) отражает, в некотором смысле, топологию X .
Основная теорема нерв Лере говорит , что, если пересечение множеств в N (C) является сжимаемым (эквивалентно: для каждого конечного набор либо пусто, либо стягивается; что то же самое: С является хорошим открытым покрытием ) , то N ( С ) является гомотопический эквивалентно , чтобы X . [5]
Другая теорема о нерве относится к чешскому нерву, описанному выше: если компактно и все пересечения множеств в C стягиваемы или пусты, то пространствоэто гомотопически эквивалентно , чтобы. [6]
Теорема о гомологическом нерве
Следующая теорема о нерве использует группы гомологий пересечений множеств в покрытии. [7] Для каждого конечного, обозначим в J -й пониженной гомологии группы.
Если H J, j - тривиальная группа для всех J в k -скелете N ( C ) и для всех j в {0, ..., k -dim ( J )}, то N ( C ) является "гомологиями -эквивалентно X в следующем смысле:
- для всех j в {0, ..., k };
- если тогда .
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Aleksandroff, PS (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen . 98 : 617–635. DOI : 10.1007 / BF01451612 . S2CID 119590045 .
- ^ Эйленберг, Самуэль; Стинрод, Норман (1952-12-31). Основы алгебраической топологии . Принстон: Издательство Принстонского университета. DOI : 10.1515 / 9781400877492 . ISBN 978-1-4008-7749-2.
- ^ «Чех нерв в nLab» . ncatlab.org . Проверено 7 августа 2020 .
- ^ Артин, М .; Мазур, Б. (1969). «Etale Homotopy». Конспект лекций по математике . 100 . DOI : 10.1007 / bfb0080957 . ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434 .
- ^ 1969-, Христос, Роберт В. (2014). Элементарная прикладная топология (Издание 1.0 ред.). [Соединенные Штаты]. ISBN 9781502880857. OCLC 899283974 .CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
- ^ Теорема о нервах в nLab
- ^ Мешулам, Рой (01.01.2001). «Кликовый комплекс и соответствие гиперграфа». Combinatorica . 21 (1): 89–94. DOI : 10.1007 / s004930170006 . ISSN 1439-6912 . S2CID 207006642 .