В математике , особенно в алгебраической топологии , предел гомотопии и копредел [1] стр. 52 являются вариантами понятий предела и копредела, расширенными на гомотопическую категорию. Основная идея такова: если у нас есть диаграмма
рассматривается как объект в гомотопической категории диаграмм , (где гомотопическая эквивалентность диаграмм рассматривается поточечно), то гомотопический предел и копределы соответствуют конусу и кокону
которые являются объектами в гомотопической категории , где это категория с одним объектом и одним морфизмом. Обратите внимание, что эта категория эквивалентна стандартной гомотопической категории поскольку последняя категория гомотопических функторов имеет функторы, которые выбирают объект в а естественное преобразование соответствует непрерывной функции топологических пространств. Обратите внимание, что эта конструкция может быть обобщена на категории моделей , которые дают методы для построения гомотопических пределов и копределов в терминах других гомотопических категорий, таких как производные категории . Другая перспектива, формализующая такие конструкции, - это производные [2], стр. 193, которые представляют собой новую основу для гомотопической алгебры .
Вводные примеры
Гомотопическое выталкивание
Концепция гомотопического копредела [1] стр. 4-8 является обобщением гомотопических выталкиваний , таких как цилиндр отображения, используемый для определения кофибрации . Это понятие мотивировано следующим наблюдением: (обычное) выталкивание
- это пространство, полученное сжатием n -1-сферы (которая является границей n- мерного диска) в одну точку. Это пространство гомеоморфно к п -сферы S н . С другой стороны, выталкивание
это точка. Следовательно, даже несмотря на то, что ( стягиваемый ) диск D n был заменен точкой (которая гомотопически эквивалентна диску), эти два выталкивания не гомотопически (или слабо ) эквивалентны.
Следовательно, выталкивание не согласуется с принципом теории гомотопии, которая рассматривает слабоэквивалентные пространства как несущие одну и ту же информацию: если одно (или несколько) пространств, используемых для формирования выталкивания, заменяется слабо эквивалентным пространством, pushout не гарантируется, что останется слабо эквивалентным. Вытеснение гомотопии исправляет этот недостаток.
Гомотопический Кодекартов Квадрат из двух карт топологических пространств определяется как
- ,
т.е. вместо приклеивания B в обоих A и C , две копии цилиндра на B склеены вместе и их концы приклеивают к A и C . Например, гомотопический копредел диаграммы (карты которой являются проекциями)
это соединение .
Можно показать , что гомотопическое Кодекартов Квадрат не разделяет дефект обычного Кодекартов Квадрата: замена A , B и / или С помощью гомотопическому пространства, гомотопическое Кодекартово Квадрат будет также гомотопным. В этом смысле гомотопические выталкивания рассматривают гомотопические пространства так же, как (обычные) выталкивания - гомеоморфные пространства.
Составление карт
Другим полезным и мотивирующим примером гомотопического копредела является построение моделей гомотопического копредела диаграммы
топологических пространств. Есть несколько способов смоделировать этот копредел: первый - рассмотреть пространство
где является отношением эквивалентности, идентифицирующим
Который наглядно можно описать как картинку
Поскольку мы можем аналогичным образом интерпретировать диаграмму выше как коммутативную диаграмму, из свойств категорий мы получаем коммутативную диаграмму
дающий гомотопический копредел. Мы могли догадаться, что это выглядит как
но обратите внимание, что мы ввели новый цикл для заполнения новых данных композиции. Это создает техническую проблему, которую можно решить с помощью симплициальных методов: дать метод построения модели гомотопических копределов. Новая диаграмма, образующая гомотопический копредел диаграммы композиции, наглядно представлена в виде
давая другую модель гомотопического копредела, которая гомотопически эквивалентна исходной диаграмме (без композиции ) данные выше.
Картографический телескоп
Гомотопический копредел последовательности пространств
является отображение телескопа . [3] Одним из примеров вычислений является определение гомотопического копредела последовательности кофибраций . Копредел в [1] стр. 62 этой диаграммы дает гомотопический копредел. Это означает, что мы могли бы вычислить гомотопический копредел любого картографического телескопа, заменив карты кофибрациями.
Общее определение
Предел гомотопии
Рассмотрение таких примеров, как картографический телескоп и гомотопическое выталкивание, на равных основаниях может быть достигнуто путем рассмотрения I- диаграммы пространств, где I - некоторая «индексирующая» категория . Это функтор
т.е. каждому объекту я в I , сопоставляется пространство X я и карты между ними, в соответствии с картами в I . Категория таких диаграмм обозначаются пространства I .
Существует естественный функтор, называемый диагональю,
который отправляет любое пространство X в диаграмму, которая состоит из X всюду (и тождество X как карты между ними). В (обычной) теории категорий правый сопряженный к этому функтору функтор является пределом . Предел гомотопии определяется изменением этой ситуации: это право, сопряженное с
который отправляет пробел X на I -диаграмму, которая для некоторого объекта i дает
Здесь I / i - категория срезов (ее объекты - стрелки j → i , где j - любой объект I ), N - нерв этой категории и | - | является топологической реализацией этого симплициального множества . [4]
Гомотопический копредел
Аналогично, копредел можно определить как левый сопряженный к диагональному функтору Δ 0, указанному выше. Чтобы определить гомотопический копредел, мы должны изменить Δ 0 другим способом. Гомотопический копредел можно определить как левый сопряженный к функтору Δ: Пространства → Пространства I, где
- Δ ( X ) ( i ) = Hom Spaces (| N ( I op / i ) |, X ) ,
где I оп является противоположной категории от I . Хотя это не то же самое, что описанный выше функтор Δ , он разделяет то свойство, что если геометрическую реализацию категории нервов ( | N (-) | ) заменить точечным пространством, мы восстановим исходный функтор Δ 0 .
Построение копределов с симплициальными заменами
Учитывая небольшую категорию и диаграмма , мы можем построить гомотопический копредел, используя симплициальную замену диаграммы. Это симплициальное пространство,задано диаграммой [1] стр. 16-17
где
заданные цепочками составных карт в категории индексации . Тогда гомотопический копредел можно построить как геометрическую реализацию этого симплициального пространства, поэтому
Обратите внимание, что это согласуется с изображением, приведенным выше для диаграммы состава .
Отношение к (обычному) копределу и пределу
Всегда есть карта
Обычно эта карта не является слабым эквивалентом. Например, гомотопическое выталкивание, встреченное выше, всегда соответствует обычному выталкиванию. Эта карта обычно не является слабой эквивалентностью, например, соединение не является слабым эквивалентом выталкивания, что является точкой.
Дополнительные примеры и приложения
Так же, как предел используется для завершения кольца, холим используется для завершения спектра .
Смотрите также
- Дериватор
- Гомотопическое волокно
- Гомотопический кофайбер
- Когомологии категорий
- Спектральная последовательность гомотопических копределов
Рекомендации
- ^ a b c d Даггер, Дэниел. «Букварь по гомотопическим коллимитам» (PDF) . Архивировано 3 декабря 2020 года (PDF) .
- ^ Гротендик. «Погоня за стеками» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 года . Проверено 17 сентября 2020 .
- ^ Алгебраическая топология Хэтчера, 4.G.
- ^ Боусфилд & Кан: Гомотопические пределы, заканчивания и Локализация , Springer, LNM 304. Раздел XI.3.3
- Учебник по гомотопическим колимитам
- Гомотопические копределы в категории малых категорий
- Категории и орбитальные пространства
- Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0.
дальнейшее чтение
- Гомотопические диаграммы предела-копредела в категориях стабильных моделей
- стр.80 Гомотопические пределы и пределы