Теорема Бореля – Вейля – Ботта.

В математике , то Борель-Вейль-Ботт теорема является основным результатом в теории представления о группах Ли , показывая , как семейство представлений может быть получено из голоморфных сечений некоторых комплексных векторных расслоений , и, в более общем случае , от высших когомологий пучковых групп связанные с такими связками. Он построен на предыдущей теоремы Бореля-Вейля о Борель и Вейль , имея дело только с пространством сечений (нулевой группы когомологий), расширение до более высоких групп когомологий, предоставляемой Раулем Ботт . Точно так же можно через GAGA Серра, рассматривать это как результат сложной алгебраической геометрии в топологии Зарисского .

Формулировка [ править ]

Пусть G является полупростой группой Ли или алгебраическая группа над , и фиксируем максимальный тор Т вместе с подгруппой Бореля B , которая содержит T . Пусть λ быть интегральный вес от Т ; λ естественным образом определяет одномерное представление C _λ группы B , вытягивая назад представление на T = B / U , где U - унипотентный радикал группы B${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Поскольку мы можем рассматривать отображение проекции G → G / B как главное B- расслоение , для каждого C _λ мы получаем ассоциированное расслоение L _−λ на G / B (обратите внимание на знак), которое, очевидно, является линейным расслоением . Отождествляя L _λ с его пучком голоморфных сечений, мы рассматриваем группы когомологий пучка . Поскольку G действует на тотальном пространстве расслоения автоморфизмами расслоения, это действие естественным образом дает G${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })}$${\displaystyle L_{\lambda }}$-модульная структура по этим группам; а теорема Бореля – Вейля – Ботта дает явное описание этих групп как G- модулей.

Сначала нам нужно описать действие группы Вейля с центром в . Для любого целого веса Х и W в группе Вейля W , мы установили , где ρ обозначает полусумма положительных корней G . Несложно проверить, что это определяет действие группы, хотя это действие не является линейным, в отличие от обычного действия группы Вейля. Также вес μ называется доминирующим, если для всех простых корней α . Пусть л обозначит функцию длины на W .${\displaystyle -\rho }$${\displaystyle w*\lambda :=w(\lambda +\rho )-\rho \,}$${\displaystyle \mu (\alpha ^{\vee })\geq 0}$

Для целого веса λ возможны два случая:

1. Не существует такого, что является доминантным, эквивалентно, существует такое неидентичное , что ; или же${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle w*\lambda }$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle w*\lambda =\lambda }$
2. Есть такое уникальное , что доминирует.${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle w*\lambda }$

Теорема утверждает, что в первом случае имеем

${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$для всех i ;

а во втором случае имеем

${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$для всех , пока${\displaystyle i\neq \ell (w)}$

${\displaystyle H^{\ell (w)}(G/B,\,L_{\lambda })}$является двойственным к неприводимому представлению G со старшим весом .${\displaystyle w*\lambda }$

Стоит отметить, что приведенный выше случай (1) имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого положительного корня β . Кроме того, мы получаем классическую теорему Бореля – Вейля как частный случай этой теоремы, считая λ доминантным, а w тождественным элементом .${\displaystyle (\lambda +\rho )(\beta ^{\vee })=0}$${\displaystyle e\in W}$

Пример [ править ]

Например, рассмотрим G = SL ₂ ( C ) , для которого G / B - сфера Римана , интегральный вес задается просто целым числом n , а ρ = 1 . Линейное расслоение L _n есть , сечения которого являются однородными многочленами степени n (т. Е. Двоичными формами ). Как представление G , секции могут быть записаны как Sym ⁿ ( C ² ) * O ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n)} , и канонически изоморфен ^{[ как? ]} в Sym ⁿ ( C ² ) .

Это сразу дает нам теорию представлений : является стандартным представлением и является его n- й симметричной степенью . У нас даже есть единое описание действия алгебры Ли, полученное из ее реализации в виде векторных полей на сфере Римана: если H , X , Y - стандартные генераторы алгебры Ли , то ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(1))}$${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(n))}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=x{\frac {d}{dx}}-y{\frac {d}{dy}},\\[5pt]X&=x{\frac {d}{dy}},\\[5pt]Y&=y{\frac {d}{dx}}.\end{aligned}}}$

Положительная характеристика [ править ]

Есть и более слабая форма этой теоремы в положительной характеристике. А именно, пусть G - полупростая алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем характеристики . Тогда остается верным, что для всех i, если λ - такой вес, который не является доминирующим для всех, пока λ «близко к нулю». ^[1] Это известно как теорема Кемпфа об исчезновении . Однако другие утверждения теоремы не остаются в силе в этой ситуации.${\displaystyle p>0}$${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$${\displaystyle w*\lambda }$${\displaystyle w\in W}$

Более явно, пусть λ - доминантный целочисленный вес; то это по-прежнему верно для всех , но уже неверно, что этот G -модуль в общем случае является простым, хотя он действительно содержит единственный модуль старшего веса самого высокого веса λ в качестве G -подмодуля. Если λ - произвольный целочисленный вес, на самом деле это большая нерешенная проблема теории представлений в целом, чтобы описать модули когомологий . В отличие от Овер, Мамфорд привел пример, показывающий, что для фиксированного λ не обязательно, чтобы все эти модули были нулевыми, за исключением одной степени i .${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$${\displaystyle i>0}$${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Теорема Бореля – Вейля [ править ]

Теорема Бореля-Вейля обеспечивает модель бетонную для неприводимых представлений о компактных групп Ли и неприводимых голоморфных представлений комплексных полупростых групп Ли . Эти представления реализуются в пространствах глобальных сечений из голоморфных линейных расслоений на многообразии флагов группы. Теорема Бореля – Вейля – Ботта является ее обобщением на пространства высших когомологий. Теорема восходит к началу 1950-х годов и может быть найдена у Серра, 1951-4 и Титса (1955) . harvtxt error: no target: CITEREFSerre1951-4 (help)

Формулировка теоремы [ править ]

Теорема может быть сформулирована как для комплексной полупростой группы Ли G или ее компактной формы K . Пусть G - связная комплексная полупростая группа Ли, B - борелевская подгруппа группы G и X = G / B - многообразие флагов . В этом сценарии X - комплексное многообразие и неособое алгебраическое G -многообразие . Многообразие флагов также можно описать как компактное однородное пространство K / T , где T= K ∩ B является (компактный) картановская подгруппа из K . Интеграл веса λ определяет G -эквивариантное голоморфное линейное расслоение L _Л на X и группа G действует на ее пространстве глобальных сечений,

${\displaystyle \Gamma (G/B,L_{\lambda }).\ }$

Бореля-Вейля теорема утверждает , что если λ является доминирующим интегральный вес , то это представление является голоморфным неприводимые представления старшего веса в G со старшим весом Х . Его ограничение на K представляет собой неприводимое унитарное представление о К со старшим весом Х , и каждый неприводимые унитарные представления K получается таким образом для уникального значения Х . (Голоморфным представлением комплексной группы Ли является такое представление алгебры Ли, для которого соответствующее представление алгебры Ли комплексно линейно.)

Конкретное описание [ править ]

Вес λ порождает характер (одномерное представление) борелевской подгруппы B , который обозначается χ _λ . Голоморфные сечения голоморфного линейного расслоения L _λ над G / B можно описать более конкретно как голоморфные отображения

${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} _{\lambda }:f(gb)=\chi _{\lambda }(b^{-1})f(g)}$

для всех г ∈ G и б ∈ B .

Действие группы G на этих участках определяется выражением

${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$

для г , ч ∈ G .

Пример [ править ]

Пусть G - комплексная специальная линейная группа SL (2, C ) с борелевской подгруппой, состоящей из верхнетреугольных матриц с детерминантной единицей. Интегральные веса для G могут быть идентифицированы с целыми числами , с доминирующими весами , соответствующими неотрицательными целыми числами, а соответствующие символы х _п из B имеют вид

${\displaystyle \chi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}=a^{n}.}$

Многообразие флагов G / B можно отождествить с комплексной проективной прямой CP ¹ с однородными координатами X , Y, а пространство глобальных сечений линейного расслоения L _n отождествить с пространством однородных многочленов степени n на C ² . При n ≥ 0 это пространство имеет размерность n + 1 и образует неприводимое представление при стандартном действии G на алгебре многочленов C [ X , Y ]. Весовые векторы задаются одночленами

${\displaystyle X^{i}Y^{n-i},\quad 0\leq i\leq n}$

весов 2 i - n , а вектор X ⁿ старшего веса имеет вес n .

См. Также [ править ]

• Теорема старшего веса

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 ..
• Бастон, Роберт Дж .; Иствуд, Майкл Г. (1989), Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представлений , Oxford University Press. ( перепечатано Дувром)
• "Теорема Ботта – Бореля – Вейля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы Бореля – Вейля – Ботта , Якоб Лурье . Проверено 13 июля, 2014.
• Серр, Жан-Пьер (1954) [1951], "Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)", Séminaire Bourbaki , 2 (100): 447–454. На французском; переведенное название: «Линейные представления и кэлеровы однородные пространства компактных групп Ли (по Арману Борелю и Андре Вейлю)».
• Титс, Жак (1955), Sur определенных классов пространств гомогенов групп Ли , Acad. Рой. Бельг. Cl. Sci. Mém. Сб., 29 На французском.
• Сепански, Марк Р. (2007), Компактные группы Ли. , Тексты для выпускников по математике, 235 , Нью-Йорк: Springer, ISBN 9780387302638.
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press. Перепечатка оригинала 1986 года.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Телеман, Константин (1998). «Теория Бореля – Вейля – Ботта о стеке модулей G -расслоений над кривой». Inventiones Mathematicae . 134 (1): 1–57. DOI : 10.1007 / s002220050257 . Руководство по ремонту  1646586 .

Эта статья включает материал из теоремы Бореля – Ботта – Вейля по PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .