В геометрии , A radiodrome является кривой стремление к последующей точке , которая преследует другую линейно-движущуюся точку. Этот термин образован от греческих слов ῥᾴδιος , rhā́idios , «легче» и δρόμος , drómos , «бег». Классическая (и наиболее известная) форма радиодрома известна как «собачья кривая»; это путь, по которому собака следует, когда она переплывает ручей с течением после чего-то, что она заметила на другой стороне. Поскольку собака плывет по течению, ей придется изменить направление; ему также придется плыть дальше, чем если бы он взял оптимальный курс. Этот случай описал Пьер Бугер. в 1732 г.
В качестве альтернативы радиодром можно описать как путь, по которому собака следует, преследуя зайца, при условии, что заяц бежит по прямой с постоянной скоростью.
Путь собаки, преследующей зайца, бежит по вертикальной прямой с постоянной скоростью. Собака бежит к зайцу, на которое на мгновение попадает, и постоянно меняет направление движения.
Введите систему координат с началом в положении собаки в нулевой момент времени и с осью Y в направлении, в котором заяц бежит с постоянной скоростью.. Положение зайца в нулевой момент времени равно ( A x , A y ) с A x > 0, а в момент t оно равно
| | ( 1 ) |
Собака бежит с постоянной скоростью к мгновенному положению зайца.
Следовательно, дифференциальное уравнение, соответствующее движению собаки ( x ( t ), y ( t )) , имеет вид
| | ( 2 ) |
| | ( 3 ) |
Можно получить аналитическое выражение y = f ( x ) в замкнутой форме для движения собаки. Из ( 2 ) и ( 3 ) следует, что
| | ( 4 ) |
Умножая обе стороны на и взяв производную по x, используя это
| | ( 5 ) |
один получает
| | ( 6 ) |
или же
| | ( 7 ) |
Из этого соотношения следует, что
| | ( 8 ) |
где B - постоянная интегрирования, определяемая начальным значением y 'в нулевой момент времени, y' (0) = sinh ( B - ( V t / V d ) ln A x ) , т. е.
| | ( 9 ) |
Из ( 8 ) и ( 9 ) после некоторых вычислений следует, что
| | ( 10 ) |
Кроме того, поскольку y (0) = 0 , из ( 1 ) и ( 4 ) следует, что
| | ( 11 ) |
Если теперь V t ≠ V d , соотношение ( 10 ) интегрируется с
| | ( 12 ) |
где C - постоянная интегрирования. Поскольку снова y (0) = 0 , это
| | ( 13 ) |
Тогда из уравнений ( 11 ), ( 12 ) и ( 13 ) вместе следует
| | ( 14 ) |
Если V t = V d , соотношение ( 10 ) дает вместо
| | ( 15 ) |
Используя снова y (0) = 0 , получаем
| | ( 16 ) |
Тогда из уравнений ( 11 ), ( 15 ) и ( 16 ) вместе следует
| | ( 17 ) |
Если V t d , из ( 14 ) следует, что
| | ( 18 ) |
Если V t ≥ V d , из ( 14 ) и ( 17 ) следует, что , что означает, что зайца никогда не поймают, когда бы ни началась погоня.