Модель Рида-Frost является математическая модель от эпидемий простер в 1920 Лоуэлл Рид и Уэйд Хэмптон Морозом , из Университета Джона Хопкинса . [1] [2] Первоначально представленная в выступлении Фроста в 1928 году и использовавшаяся на курсах Хопкинса в течение двух десятилетий, математическая формулировка не была опубликована до 1950-х годов, когда она также была превращена в телевизионный эпизод. [3]
Описание
Это пример «цепной биномиальной» модели, упрощенной итеративной модели поведения эпидемии с течением времени.
Модель Рида – Фроста - одна из простейших стохастических моделей эпидемии. Он был сформулирован Лоуэллом Ридом и Уэйдом Фростом в 1928 году (в неопубликованной работе) и описывает эволюцию инфекции в поколениях. Каждый инфицированный человек в поколении t (t = 1,2, ...) независимо заражает каждого восприимчивого человека в популяции с некоторой вероятностью p. Лица, инфицированные индивидами в поколении t, затем составляют поколение t + 1, а индивиды в поколении t исключаются из эпидемического процесса. [4]
Модель Рида – Фроста основана на следующих предположениях: [5]
- Инфекция передается напрямую от инфицированных людей другим путем определенного типа контакта (так называемого «адекватного контакта») и никаким другим путем.
- У любого неиммунного индивидуума в группе после такого контакта с заразным индивидуумом в определенный период разовьется инфекция и будет заразным для других только в течение следующего периода времени; в последующие периоды времени он полностью и навсегда невосприимчив.
- Каждый человек имеет фиксированную вероятность войти в адекватный контакт с любым другим указанным человеком в группе в течение одного временного интервала, и эта вероятность одинакова для каждого члена группы.
- Люди полностью отделены от других, не входящих в группу. (Это замкнутая популяция.)
- Эти условия остаются неизменными во время эпидемии.
Изначально устанавливаются следующие параметры:
- Размер населения
- Количество людей, у которых уже есть иммунитет
- Количество дел (обычно 1)
- Вероятность адекватного контакта
Обладая этой информацией, простая формула позволяет рассчитать, сколько человек будет инфицировано и сколько иммунных в следующем временном интервале. Это повторяется до тех пор, пока все население не станет невосприимчивым или пока не останутся инфицированные люди. Затем модель можно запускать повторно, корректируя начальные условия , чтобы увидеть, как они влияют на развитие эпидемии.
Вероятность адекватного контакта примерно соответствует R 0 , базовому числу воспроизводимых - в большой популяции, когда первоначальное число инфицированных невелико, инфицированный человек, как ожидается, вызовет новые дела.
Математика
Позволять представляют количество случаев заражения за раз . Предположим, что все случаи выздоравливают или удаляются ровно за один временной шаг. Позволять представляют количество восприимчивых людей за раз . Позволять быть случайной величиной Бернулли, которая возвращает с вероятностью а также с вероятностью . Используя соглашение об умножении случайных величин, мы можем записать модель Рида – Фроста как
с исходным количеством восприимчивых и инфицированных лиц дано. Здесь, - это вероятность того, что человек вступит в контакт с другим человеком за один временной интервал и что этот контакт приведет к передаче болезни.
Детерминированный предел (определяется заменой случайных величин их ожиданиями),
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Schwabe CW, Риман HP, Franti CE. (1977). Эпидемиология в ветеринарной практике . Леа и Фебигер. стр. 258–260
- Перейти ↑ Abbey, Helen (1952). «Изучение теории эпидемий Рида-Фроста». Гм. Биол . 3: 201
- ^ Рид, Лоуэлл (1951) Теория эпидемии: что это такое? (Телевизионная программа) Youtube , доступ 21 марта 2021 г. Johns Hopkins Science Review, Балтимор, Мэриленд.
- ^ Deijfen, Мария (2011). «Эпидемии и вакцинация на взвешенных графиках». Математические биологические науки . 232 (1): 57–65. arXiv : 1101.4154 . DOI : 10.1016 / j.mbs.2011.04.003 . PMID 21536052 . S2CID 1744357 .
- ^ «Модель эпидемии Рида – Фроста» . Суперкомпьютерный центр Огайо.