В математике , в теории полугрупп , полугруппа факторов Риса (также называемая факторполугруппой Риса или просто фактор Риса ), названная в честь Дэвида Риса , представляет собой определенную полугруппу, построенную с использованием полугруппы и идеала полугруппы .
Пусть S будет полугруппа и I идеал в S . Используя S и I, можно построить новую полугруппу, свернув I в один элемент, в то время как элементы S вне I сохраняют свою идентичность. Новая полугруппа , полученная таким образом, называется Rees фактор полугруппа S по модулю I и обозначается через S / I .
Понятие факторной полугруппы Риса было введено Дэвидом Рисом в 1940 году. [1] [2]
Формальное определение
подмножество полугруппы называется идеальным из если оба а также являются подмножествами (где , и аналогично для ). Позволять быть идеалом полугруппы . Соотношение в определяется
- x ρ y ⇔ либо x = y, либо оба x и y находятся в I
является отношением эквивалентности в . Классы эквивалентности при являются одноэлементными наборами с участием не в и набор . С это идеал , Соотношение это сравнение на. [3] фактор полугруппа является по определению факторной полугруппой Риса группы по модулю . Для удобства обозначений полугруппа также обозначается как . Полугруппа факторов Риса [4] имеет базовый набор, где - новый элемент и продукт (здесь обозначается ) определяется
Конгруэнтность на как определено выше, называется конгруэнцией Риса на по модулю .
Пример
Рассмотрим полугруппу S = { a , b , c , d , e } с бинарной операцией, определенной следующей таблицей Кэли:
· | а | б | c | d | е |
---|---|---|---|---|---|
а | а | а | а | d | d |
б | а | б | c | d | d |
c | а | c | б | d | d |
d | d | d | d | а | а |
е | d | е | е | а | а |
Пусть я = { , д } , которая является подмножеством S . С
- SI = { aa , ba , ca , da , ea , ad , bd , cd , dd , ed } = { a , d } ⊆ I
- IS = { aa , da , ab , db , ac , dc , ad , dd , ae , de } = { a , d } ⊆ I
множество I является идеалом S . Полугруппа факторов Риса группы S по модулю I - это множество S / I = { b , c , e , I } с бинарной операцией, определенной следующей таблицей Кэли:
· | б | c | е | я |
---|---|---|---|---|
б | б | c | я | я |
c | c | б | я | я |
е | е | е | я | я |
я | я | я | я | я |
Идеальное расширение
Полугруппа S называется идеалом расширением полугруппы А с помощью полугруппы B , если является идеалом S и коэффициент Rees полугруппы S / изоморфна B . [5]
Некоторые из случаев, которые были широко изучены, включают: идеальные расширения вполне простых полугрупп , группы с помощью полностью 0-простой полугруппы , коммутативной полугруппы с сокращением на группу с добавленным нулем. В общем, проблема описания всех идеальных расширений полугруппы остается открытой. [6]
Рекомендации
- Перейти ↑ D. Rees (1940). «О полугруппах». Proc. Camb. Фил. Soc . 36 : 387–400. MR 2, 127
- ^ Клиффорд, Альфред Хоблитцель ; Престон, Гордон Бэмфорд (1961). Алгебраическая теория полугрупп. Vol. Я . Математические обзоры, № 7. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4. Руководство по ремонту 0132791 .
- ^ Лоусон (1998) Обратные полугруппы: теория частичных симметрий , стр. 60, World Scientific со ссылкой на Google Книги
- ^ Хауи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп , Clarendon Press , ISBN 0-19-851194-9
- ^ Михалев Александр Васильевич; Пильц, Гюнтер (2002). Краткий справочник по алгебре . Springer . ISBN 978-0-7923-7072-7.(стр. 1–3)
- ^ Глускин, LM (2001) [1994], "Расширение полугруппы" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Лоусон, М.В. (1998). Обратные полугруппы: теория частичных симметрий . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.
Эта статья включает материал из Rees factor на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .