В математике , полугруппа является непустым множеством вместе с ассоциативной бинарной операцией . Особый класс полугрупп является классом из полугрупп , удовлетворяющих дополнительные свойства или состояния. Таким образом, класс коммутативных полугрупп состоит из всех тех полугрупп, в которых бинарная операция удовлетворяет свойству коммутативности ab = ba для всех элементов a и b в полугруппе. Класс конечных полугрупп состоит из тех полугрупп, для которыхбазовое множество имеет конечную мощность . Члены класса полугрупп Брандта должны удовлетворять не одному условию, а набору дополнительных свойств. Определен большой набор специальных классов полугрупп, хотя не все из них изучены одинаково интенсивно.
В алгебраической теории полугрупп при построении специальных классов, внимание сосредоточено только на те свойствах, ограничения и условиях , которые могут быть выражены в терминах бинарных операций в полугруппах , а иногда и на мощностные и подобных свойствах подмножеств в лежащем в основе множества . Предполагается, что базовые наборы не содержат никаких других математических структур, таких как порядок или топология .
Как и в любой алгебраической теории, одной из основных проблем теории полугрупп является классификация всех полугрупп и полное описание их строения. В случае полугрупп, поскольку бинарная операция требуется для удовлетворения только свойства ассоциативности, проблема классификации считается чрезвычайно сложной. Получены описания структур некоторых специальных классов полугрупп. Например, полностью известна структура множеств идемпотентов регулярных полугрупп. Структурные описания представлены в терминах наиболее известных типов полугрупп. Самый известный тип полугруппы - это группа .
Ниже приводится (обязательно неполный) список различных специальных классов полугрупп. Насколько это возможно, определяющие свойства формулируются в терминах бинарных операций в полугруппах. Ссылки указывают на места, откуда берутся определяющие свойства.
Обозначения
При описании определяющих свойств различных специальных классов полугрупп приняты следующие условные обозначения.
Обозначение | Имея в виду |
---|---|
S | Произвольная полугруппа |
E | Набор идемпотентов в S |
грамм | Группа единиц в S |
я | Минимальный идеал S |
V | Регулярные элементы S |
Икс | Произвольный набор |
а , б , в | Произвольные элементы S |
х , у , г | Специфические элементы S |
е , е , г | Произвольные элементы E |
час | Специфический элемент E |
л , м , н | Произвольные положительные целые числа |
j , k | Конкретные положительные целые числа |
v , w | Произвольные элементы V |
0 | Нулевой элемент S |
1 | Элемент идентичности S |
S 1 | S, если 1 ∈ S ; S ∪ {1}, если 1 ∉ S |
a ≤ L b a ≤ R b a ≤ H b a ≤ J b | S 1 a ⊆ S 1 b aS 1 ⊆ bS 1 S 1 a ⊆ S 1 b и aS 1 ⊆ bS 1 S 1 aS 1 ⊆ S 1 bS 1 |
L , R , H , D , J | Отношения Грина |
L a , R a , H a , D a , J a | Зеленые классы , содержащие а , |
Единственная идемпотентная степень x . Этот элемент существует, если предположить, что полугруппа (локально) конечна. Дополнительную информацию об этом обозначении см. В разделе о разнообразии конечных полугрупп . | |
Мощность X в предположении, что X конечно. |
Так , например, определение Xab = Xba следует читать как:
- Там существует й элемент полугруппы таким образом , что для каждого а и б в полугрупповом, Xab и Xba равны.
Список специальных классов полугрупп
В третьем столбце указано, образует ли этот набор полугрупп разнообразие . И образует ли множество конечных полугрупп этого специального класса множество конечных полугрупп . Обратите внимание, что если это множество является разнообразием, то его набор конечных элементов автоматически является множеством конечных полугрупп.
Терминология | Определение собственности | Многообразие конечной полугруппы | Рекомендации) |
---|---|---|---|
Конечная полугруппа |
|
| |
Пустая полугруппа |
| Нет | |
Тривиальная полугруппа |
|
| |
Моноид |
| Нет | Гриль п. 3 |
Банда (идемпотентная полугруппа) |
|
| C&P стр. 4 |
Прямоугольная полоса |
|
| Феннемор |
Полурешетка | Коммутативный диапазон, то есть:
|
| |
Коммутативная полугруппа |
|
| C&P стр. 3 |
Архимедова коммутативная полугруппа |
| C&P стр. 131 | |
Нигде коммутативная полугруппа |
| C&P стр. 26 год | |
Левый слабо коммутативный |
| Nagy р. 59 | |
Правая слабо коммутативная |
| Nagy р. 59 | |
Слабо коммутативный | Левый и правый слабо коммутативные. Это:
| Nagy р. 59 | |
Условно коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 77 | |
R -коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 69–71 | |
RC -коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 93–107 | |
L -коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 69–71 | |
LC -коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 93–107 | |
H -коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 69–71 | |
Квазикоммутативная полугруппа |
| Nagy р. 109 | |
Правая коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 137 | |
Левая коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 137 | |
Внешне коммутативная полугруппа |
| Nagy р. 175 | |
Медиальная полугруппа |
| Nagy р. 119 | |
E- k полугруппа ( k фиксировано) |
|
| Nagy р. 183 |
Экспоненциальная полугруппа |
|
| Nagy р. 183 |
WE- k полугруппа ( k фиксировано) |
| Nagy р. 199 | |
Слабо экспоненциальная полугруппа |
| Nagy р. 215 | |
Правая сокращающая полугруппа |
| C&P стр. 3 | |
Левая полугруппа сокращения |
| C&P стр. 3 | |
Отменительная полугруппа | Левая и правая полугруппа сокращения, то есть
| C&P стр. 3 | |
'' E '' - инверсивная полугруппа ( E -плотная полугруппа) |
| C&P стр. 98 | |
Регулярная полугруппа |
| C&P стр. 26 год | |
Обычная группа |
|
| Феннемор |
Внутрирегулярная полугруппа |
| C&P стр. 121 | |
Левая регулярная полугруппа |
| C&P стр. 121 | |
Левая регулярная полоса |
|
| Феннемор |
Правильная регулярная полугруппа |
| C&P стр. 121 | |
Право-регулярная полоса |
|
| Феннемор |
Полностью регулярная полугруппа |
| Гриль п. 75 | |
(обратная) полугруппа Клиффорда |
|
| Петрич п. 65 |
k -регулярная полугруппа ( k фиксировано) |
| Хари | |
В конечном итоге регулярная полугруппа (π-регулярная полугруппа, квазирегулярная полугруппа) |
| Эдва Шум Хигг стр. 49 | |
Квазипериодическая полугруппа, эпигруппа , полугруппа с групповой границей, полностью (или сильно) π-регулярная полугруппа и многие другие; список см. в Kela ) |
| Kela Gril стр. 110 Хигг стр. 4 | |
Примитивная полугруппа |
| C&P стр. 26 год | |
Единичная регулярная полугруппа |
| Твм | |
Сильно единичная регулярная полугруппа |
| Твм | |
Православная полугруппа |
| Гриль п. 57 Хауи с. 226 | |
Обратная полугруппа |
| C&P стр. 28 год | |
Левая инверсная полугруппа ( R -унипотентная) |
| Гриль п. 382 | |
Правая инверсная полугруппа ( L -унипотентная) |
| Гриль п. 382 | |
Локально инверсная полугруппа (Псевдообратная полугруппа) |
| Гриль п. 352 | |
M -инверсивная полугруппа |
| C&P стр. 98 | |
Псевдообратная полугруппа (Локально обратная полугруппа) |
| Гриль п. 352 | |
Обильная полугруппа |
| Чен | |
Rpp-полугруппа (правая главная проективная полугруппа) |
| Шум | |
Lpp-полугруппа (левая главная проективная полугруппа) |
| Шум | |
Нулевая полугруппа ( Нулевая полугруппа ) |
|
| C&P стр. 4 |
Левая полугруппа нулей |
|
| C&P стр. 4 |
Левая нулевая полоса | Полугруппа левых нулей, которая является лентой. Это:
|
|
|
Покинул группу |
| C&P стр. 37, 38 | |
Полугруппа правых нулей |
|
| C&P стр. 4 |
Правая нулевая полоса | Полугруппа правых нулей, которая является лентой. Это:
|
| Феннемор |
Правая группа |
| C&P стр. 37, 38 | |
Правая абелева группа |
| Nagy р. 87 | |
Унипотентная полугруппа |
|
| C&P стр. 21 год |
Левая редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 9 | |
Право редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 4 | |
Редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 4 | |
Разделительная полугруппа |
| C&P стр. 130–131 | |
Обратимая полугруппа |
| C&P стр. 34 | |
Правая обратимая полугруппа |
| C&P стр. 34 | |
Левая обратимая полугруппа |
| C&P стр. 34 | |
Апериодическая полугруппа |
|
| |
ω-полугруппа |
| Гриль п. 233–238 | |
Левая полугруппа Клиффорда (LC-полугруппа) |
| Шум | |
Правая полугруппа Клиффорда (RC-полугруппа) |
| Шум | |
Ортогруппа |
| Шум | |
Полная коммутативная полугруппа |
| Гриль п. 110 | |
Нильполугруппа (Нильпотентная полугруппа) |
|
|
|
Элементарная полугруппа |
| Гриль п. 111 | |
E -унитарная полугруппа |
| Гриль п. 245 | |
Конечно определенная полугруппа |
| Гриль п. 134 | |
Фундаментальная полугруппа |
| Гриль п. 88 | |
Идемпотентно порожденная полугруппа |
| Гриль п. 328 | |
Локально конечная полугруппа |
|
| Гриль п. 161 |
N -полугруппа |
| Гриль п. 100 | |
L -унипотентная полугруппа (правая инверсная полугруппа) |
| Гриль п. 362 | |
R -унипотентная полугруппа (левая инверсная полугруппа) |
| Гриль п. 362 | |
Левая простая полугруппа |
| Гриль п. 57 | |
Правая простая полугруппа |
| Гриль п. 57 | |
Субэлементарная полугруппа |
| Гриль п. 134 | |
Симметричная полугруппа ( Полугруппа полного преобразования ) |
| C&P стр. 2 | |
Слабо редуктивная полугруппа |
| C&P стр. 11 | |
Правая однозначная полугруппа |
| Гриль п. 170 | |
Левая однозначная полугруппа |
| Гриль п. 170 | |
Однозначная полугруппа |
| Гриль п. 170 | |
Осталось 0-однозначно |
| Гриль п. 178 | |
Право 0-однозначно |
| Гриль п. 178 | |
0-однозначная полугруппа |
| Гриль п. 178 | |
Левая полугруппа путча |
| Nagy р. 35 год | |
Правая полугруппа путча |
| Nagy р. 35 год | |
Полугруппа путча |
| Nagy р. 35 год | |
Бипростая полугруппа ( D- простая полугруппа) |
| C&P стр. 49 | |
0-биспростая полугруппа |
| C&P стр. 76 | |
Совершенно простая полугруппа |
| C&P стр. 76 | |
Совершенно 0-простая полугруппа |
| C&P стр. 76 | |
D -простая полугруппа (Бипростая полугруппа) |
| C&P стр. 49 | |
Полупростая полугруппа |
| C&P стр. 71–75 | |
: Простая полугруппа |
|
|
|
0-простая полугруппа |
| C&P стр. 67 | |
Левая 0-простая полугруппа |
| C&P стр. 67 | |
Правая 0-простая полугруппа |
| C&P стр. 67 | |
Циклическая полугруппа ( Моногенная полугруппа ) |
|
| C&P стр. 19 |
Периодическая полугруппа |
|
| C&P стр. 20 |
Бициклическая полугруппа |
| C&P стр. 43–46 | |
Полугруппа полного преобразования T X (Симметричная полугруппа) |
| C&P стр. 2 | |
Прямоугольная полоса |
|
| Феннемор |
Прямоугольная полугруппа |
| C&P стр. 97 | |
Симметричная обратная полугруппа I X |
| C&P стр. 29 | |
Полугруппа Брандта |
| C&P стр. 101 | |
Свободная полугруппа F X |
| Гриль п. 18 | |
Полугруппа матриц Риса |
| C&P стр.88 | |
Полугруппа линейных преобразований |
| C&P стр.57 | |
Полугруппа бинарных отношений B X |
| C&P стр.13 | |
Числовая полугруппа |
| Делг | |
Полугруппа с инволюцией (* -полугруппа) |
| Как я | |
Полугруппа Бэра – Леви |
| C&P II Глава 8 | |
U -полугруппа |
| Хауи стр.102 | |
I -полугруппа |
| Хауи стр.102 | |
Полузона |
| Howi с.230 | |
Группа |
|
| |
Топологическая полугруппа |
|
| Булавка п. 130 |
Синтаксическая полугруппа |
| Булавка п. 14 | |
: R -тривиальные моноиды |
|
| Булавка п. 158 |
: L -тривиальные моноиды |
|
| Булавка п. 158 |
: J -тривиальные моноиды |
|
| Булавка п. 158 |
: идемпотентные и R -тривиальные моноиды |
|
| Булавка п. 158 |
: идемпотентные и L -тривиальные моноиды |
|
| Булавка п. 158 |
: Полугруппа, регулярные D которой являются полугруппами |
|
| Булавка стр.154, 155, 158 |
: Полугруппа, регулярная D которой является апериодической полугруппой |
|
| Булавка п. 156, 158 |
/: Левша тривиальная полугруппа |
|
| Булавка стр.149, 158 |
/: Тривиальная справа полугруппа |
|
| Булавка стр.149, 158 |
: Локально тривиальная полугруппа |
|
| Булавка стр.150, 158 |
: Локально группы |
|
| Булавка стр.151, 158 |
Терминология | Определение собственности | Разнообразие | Рекомендации) |
---|---|---|---|
Упорядоченная полугруппа |
|
| Булавка п. 14 |
|
| Булавка стр.157, 158 | |
|
| Булавка стр.157, 158 | |
|
| Булавка стр.157, 158 | |
|
| Булавка стр.157, 158 | |
локально положительная J-тривиальная полугруппа |
|
| Булавка стр.157, 158 |
Рекомендации
[C&P] | А. Х. Клиффорд , Г. Б. Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп Vol. I (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4 | |
[C&P II] | А. Х. Клиффорд, Г. Б. Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп Vol. II (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0272-0 | |
[Чен] | Хуэй Чен (2006), "Построение разновидности обильных полугрупп", Mathematical Communications ( 11 ), 165–171 (доступ 25 апреля 2009 г.) | |
[Делг] | М. Дельгадо и др. , Числовые полугруппы , [1] (по состоянию на 27 апреля 2009 г.) | |
[Эдва] | П.М. Эдвардс (1983), "В конечном итоге регулярные полугруппы", Бюллетень Австралийского математического общества 28 , 23–38 | |
[Грил] | П.А. Грийе (1995). Полугруппы . CRC Press . ISBN 978-0-8247-9662-4 | |
[Хари] | К. С. Харинат (1979), "Некоторые результаты о k -регулярных полугруппах", Индийский журнал чистой и прикладной математики 10 (11), 1422–1431 | |
[Как я] | JM Howie (1995), Основы теории полугрупп , Oxford University Press | |
[Надя] | Аттила Надь (2001). Специальные классы полугрупп . Springer . ISBN 978-0-7923-6890-8 | |
[Домашний питомец] | М. Петрич, Н.Р. Рейли (1999). Полностью регулярные полугруппы . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-19571-9 | |
[Шум] | К.П. Шум «Полугруппы Rpp, их обобщения и специальные подклассы» в « Успехах в алгебре и комбинаторике» под редакцией К.П. Шума и др. (2008), World Scientific , ISBN 981-279-000-4 (стр. 303–334) | |
[ТВм] | Труды Международного симпозиума по теории регулярных полугрупп и приложений , Университет Кералы , Тируванантапурам , Индия , 1986 г. | |
[Kela] | А. В. Келарев, Приложения эпигрупп к теории градуированных колец , Форум полугрупп , том 50, номер 1 (1995), 327-350 doi : 10.1007 / BF02573530 | |
[KKM] | Мати Килп, Ульрих Кнауэр, Александр В. Михалев (2000), Моноиды, действия и категории: с приложениями к сплетениям и графам , Экспозиции по математике 29 , Вальтер де Грюйтер, Берлин, ISBN 978-3-11-015248-7 . | |
[Хигг] | Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853577-5. | |
[Штырь] | Пин, Жан-Эрик (30.11.2016). Математические основы теории автоматов (PDF) . | |
[Феннемор] | Fennemore, Чарльз (1970), "Все разновидности групп", Полугрупповой форум , 1 (1): 172-179, DOI : 10.1007 / BF02573031 |