В математике , А полугруппа без каких - либо элементов (The пусто полугруппового ) является полугруппой , в которой основное множество является пустым множеством . Многие авторы не допускают существования такой полугруппы. Для них полугруппа - это по определению непустое множество вместе с ассоциативной бинарной операцией. [1] [2] Однако не все авторы настаивают на том, чтобы базовое множество полугруппы было непустым. [3] Можно логически определить полугруппу, в которой базовое множество S пусто. Бинарная операция в полугруппе - это пустая функция из S× S к S . Эта операция бессодержательно удовлетворяет закрывающую и ассоциативность аксиому полугруппы. Не исключение пустой полугруппы упрощает некоторые результаты о полугруппах. Например, результат, что пересечение двух подполугрупп полугруппы T является подполугруппой T, становится действительным, даже если пересечение пусто.
Если для полугруппы определена дополнительная структура, проблема может не возникнуть. Например, для определения моноида требуется элемент идентичности , который исключает пустую полугруппу как моноид.
В теории категорий всегда допускается пустая полугруппа. Это единственный исходный объект категории полугрупп.
Полугруппа без элемента является инверсной полугруппой , поскольку необходимое условие выполняется в вакууме.
См. Также [ править ]
- Поле с одним элементом
- Полугруппа с одним элементом
- Полугруппа с двумя элементами
- Полугруппа с тремя элементами
- Специальные классы полугрупп
Ссылки [ править ]
- ^ AH Клиффорд, GB Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп Vol. I (второе издание). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4
- ↑ JM Howie (1976). Введение в теорию полугрупп . LMS Монографии. 7 . Академическая пресса. стр. 2–3
- ^ PA Грийе (1995). Полугруппы . CRC Press . ISBN 978-0-8247-9662-4 стр. 3–4
