В абстрактной алгебре , А полугруппа с тремя элементами представляет собой объект , состоящий из трех элементов , и в ассоциативной операции , определенной на них. Основным примером могут быть три целых числа 0, 1 и -1 вместе с операцией умножения. Умножение целых чисел является ассоциативным, и произведение любых двух из этих трех целых чисел снова является одним из этих трех целых чисел.
Есть 18 неэквивалентных способов определить ассоциативную операцию на трех элементах: в то время как есть, в целом, в общей сложности- 9 = 19683 различных бинарных операций , которые могут быть определены, только 113 из них являются ассоциативными, и многие из них являются изоморфными или антиизоморфны так что, по сути, есть только 18 возможностей. [1] [2]
Одна из них - C 3 , циклическая группа с тремя элементами. У всех остальных есть полугруппа с двумя элементами в качестве подполугруппы . В приведенном выше примере, множество {-1,0,1} относительно умножения содержит как {0,1} и {-1,1} как подполугруппы (последняя является подгруппа группы , С 2 ).
Шесть из них являются полосами , что означает, что все три элемента являются идемпотентными , так что продукт любого элемента с самим собой снова является самим собой. Две из этих лент коммутативны , следовательно, являются полурешетками (одна из них является трехэлементным полностью упорядоченным множеством, а другая - трехэлементной полурешеткой, которая не является решеткой). Остальные четыре входят в антиизоморфные пары.
Одна из этих некоммутативных полос является результатом присоединения единичного элемента к LO 2 , полугруппе левых нулей с двумя элементами (или, двойственно, к RO 2 , полугруппе правых нулей ). Иногда его называют триггером-моноидом , имея в виду триггерные схемы, используемые в электронике: три элемента можно описать как «установить», «сбросить» и «ничего не делать». Эта полугруппа встречается в разложении Крона – Родса конечных полугрупп. [3] Неприводимые элементы в этом разложении - конечные простые группы плюс эта трехэлементная полугруппа и ее подполугруппы.
Существуют две циклические полугруппы , одна из которых описывается уравнением x 4 = x 3 , в котором O 2 , нулевая полугруппа с двумя элементами, является подполугруппой. Другой описывается формулой x 4 = x 2 и имеет C 2 , группу с двумя элементами, в качестве подгруппы. (Уравнение x 4 = x описывает C 3 , группу из трех элементов, о которой уже упоминалось.)
Есть семь других нециклических небленых коммутативных полугрупп, включая начальный пример {−1, 0, 1} и O 3 , нулевую полугруппу с тремя элементами. Существуют также две другие антиизоморфные пары некоммутативных небленых полугрупп.
1. Циклическая группа (C 3 )
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Моногенная полугруппа (индекс 2, период 2)
Подполугруппа: {y, z} ≈ C 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Апериодическая моногенная полугруппа (индекс 3).
Подполугруппа: {y, z} ≈ O 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Коммутативный моноид ({−1,0,1} при умножении)
Подполугруппы: {x, z} ≈ C 2 . {y, z} ≈ CH 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Коммутативный моноид
Подполугруппы: {x, z} ≈ C 2 . {y, z} ≈ CH 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Коммутативная полугруппа.
Подполугруппы: {x, z} ≈ C 2 . {y, z} ≈ O 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Нулевая полугруппа (O 3 )
Подполугруппы: {x, z} ≈ {y, z} ≈ O 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Коммутативная апериодическая полугруппа.
Подполугруппы: {x, z} ≈ O 2 . {y, z} ≈ CH 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Коммутативная апериодическая полугруппа.
Подполугруппы: {x, z} ≈ O 2 . {y, z} ≈ CH 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Коммутативный апериодический моноид.
Подполугруппы: {x, z} ≈ O 2 . {y, z} ≈ CH 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
11А. апериодическая полугруппа
Подполугруппы: {x, z} ≈ O 2 , {y, z} ≈ LO 2 | 11B. его противоположность
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
12А. апериодическая полугруппа
Подполугруппы: {x, z} ≈ O 2 , {y, z} ≈ CH 2 | 12B. его противоположность
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Полурешетка ( цепочка )
Подгруппы: {x, y} ≈ {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
14. Полурешетка.
Подполугруппы: {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
15А. идемпотентная полугруппа
Подполугруппы: {x, y} ≈ LO 2 , {x, z} ≈ CH 2 | 15Б. его противоположность
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
16А. идемпотентная полугруппа
Подполугруппы: {x, y} ≈ LO 2 , {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH 2 | 16B. его противоположность
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
17А. полугруппа левых нулей (LO 3 )
Подполугруппы: {x, y} ≈ {x, z} ≈ {y, z} ≈ LO 2 | 17B. его противоположность (RO 3 )
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
18А. идемпотентная полугруппа (левый триггер моноид)
Подполугруппы: {x, y} ≈ LO 2 , {x, z} ≈ {y, z} ≈ CH 2 | 18B. его противоположность (правый моноид триггера)
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
Индекс двухэлементных подполугрупп : C 2 : циклическая группа, O 2 : нулевая полугруппа, CH 2 : полурешетка (цепь), LO 2 / RO 2 : левая / правая полугруппа нулей. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
См. Также [ править ]
- Специальные классы полугрупп
- Полугруппа с двумя элементами
- Полугруппа с одним элементом
- Пустая полугруппа
Ссылки [ править ]
- ^ Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп. Архивировано 2 апреля2015 г. в Wayback Machine , докторская диссертация, Университет Сент-Эндрюс.
- ^ Fridrik Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над трехэлементным множеством» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 5 (2 и 3): 257–268 . Проверено 6 февраля 2014 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ «Это безобидные три-элементная полугруппа играет важную роль в дальнейшем ...» - Применение теории автоматов и алгебры с помощью Джон Л. Родоса .
