(Z 2 , + 2 ) (где Z 2 = {0,1} и «+ 2 » - «сложение по модулю 2») или эквивалентно ({0,1},) (где «⊕» - логическая связка " xor "), или, что то же самое, множество {−1,1} при умножении: единственная группа второго порядка.
Определение полугрупп с двумя элементами [ править ]
Выбрав набор A = {1, 2} в качестве базового набора, имеющего два элемента, в A можно определить шестнадцать бинарных операций . Эти операции показаны в таблице ниже. В таблице матрица вида
Икс
y
z
т
указывает на двоичную операцию над A, имеющую следующую таблицу Кэли .
1
2
1
Икс
y
2
z
т
Список бинарных операций в {1, 2}
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
Нулевая полугруппа O 2
≡ Полугруппа ({0,1}, )
2 · (1 · 2) = 2, (2 · 1) · 2 = 1
Полугруппа левых нулей LO 2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2 · (1 · 2) = 1, (2 · 1) · 2 = 2
Полугруппа правых нулей RO 2
≡ Группа (Z 2 , + 2 )
≡ Полугруппа ({0,1}, )
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1 · (1 · 2) = 2, (1 · 1) · 2 = 1
≡ Группа (Z 2 , + 2 )
1 · (1 · 1) = 1, (1 · 1) · 1 = 2
1 · (2 · 1) = 1, (1 · 2) · 1 = 2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1 · (1 · 1) = 2, (1 · 1) · 1 = 1
1 · (2 · 1) = 2, (1 · 2) · 1 = 1
1 · (1 · 2) = 2, (1 · 1) · 2 = 1
Нулевая полугруппа O 2
В этой таблице:
Полугруппа ({0,1}, ) обозначает двухэлементную полугруппу, содержащую нулевой элемент 0 и единичный элемент 1. Две бинарные операции, определенные матрицами на зеленом фоне, являются ассоциативными, и спаривание любой из них с A создает полугруппу, изоморфную полугруппа ({0,1}, ). В этой полугруппе каждый элемент идемпотентен , значит, это бэнд . Кроме того, она коммутативна (абелева) и, следовательно, является полурешеткой . Порядок индуцируется является линейным порядком , и поэтому в действительности решетка , и это также распределительные и дополняемые решетки, т.е. фактически это двухэлементная булева алгебра .
Две бинарные операции, определенные матрицами на синем фоне, являются ассоциативными, и объединение в пары с A создает полугруппу, изоморфную нулевой полугруппе O 2 с двумя элементами.
Бинарная операция, определяемая матрицей на оранжевом фоне, является ассоциативной, и ее объединение в пару с A создает полугруппу. Это полугруппа левых нулей LO 2 . Это не коммутативно.
Бинарная операция, определяемая матрицей на фиолетовом фоне, является ассоциативной, и ее объединение в пару с A создает полугруппу. Это полугруппа правых нулей RO 2 . Он также не коммутативен.
Две бинарные операции, определенные матрицами на красном фоне, ассоциативны, и спаривание любой из них с A создает полугруппу, изоморфную группе (Z 2 , + 2 ).
Остальные восемь двоичных операций , определенных матриц в белом фоне не ассоциативно и , следовательно , ни один из них не создают полугруппа , когда в паре с A .
Двухэлементная полугруппа ({0,1}, ∧) [ править ]
Таблица Кэли для полугруппы ({0,1}, ) приведена ниже:
0
1
0
0
0
1
0
1
Это простейший нетривиальный пример полугруппы, не являющейся группой. Эта полугруппа имеет единичный элемент 1, что делает ее моноидом . Он также коммутативен. Это не группа, потому что элемент 0 не имеет инверсии, и даже не является полугруппой с сокращением, потому что мы не можем сократить 0 в уравнении 1 · 0 = 0 · 0.
Эта полугруппа возникает в разных контекстах. Например, если мы выбираем 1 как значение истинности « истина » и 0 как значение истинности « ложь » и операцию как логическую связку « и », мы получаем эту полугруппу в логике . Он изоморфен моноиду {0,1} относительно умножения. Он также изоморфен полугруппе
Таблица Кэли для полугруппы (Z 2 , + 2 ) приведена ниже:
+ 2
0
1
0
0
1
1
1
0
Эта группа изоморфна циклической группа Z 2 и симметрическая группа S 2 .
Полугруппы 3-го порядка [ править ]
Основная статья: Полугруппа с тремя элементами
Пусть A - трехэлементное множество {1, 2, 3}. В целом, в общей сложности 3 9 = 19683 различных бинарных операций может быть определена на A . 113 из 19683 бинарных операций определяют 24 неизоморфные полугруппы или 18 неэквивалентных полугрупп (с эквивалентностью, являющейся изоморфизмом или антиизоморфизмом). [2] За исключением группы с тремя элементами , каждый из них имеет одну (или несколько) из двух вышеупомянутых двухэлементных полугрупп в качестве подполугрупп. [3] Например, множество {−1,0,1} при умножении является полугруппой порядка 3 и содержит как подполугруппы {0,1}, так и {−1,1}.
Конечные полугруппы высших порядков [ править ]
Разработаны алгоритмы и компьютерные программы для определения неизоморфных конечных полугрупп заданного порядка. Они были применены для определения неизоморфных полугрупп малого порядка. [3] [4] [5] Количество неизоморфных полугрупп с n элементами, где n неотрицательное целое число, указано в OEIS : A027851 в онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей . OEIS : A001423 перечисляет количество неэквивалентных полугрупп, а OEIS : A023814 - количество ассоциативных бинарных операций из общего числа n n 2., определяя полугруппу.
См. Также [ править ]
Пустая полугруппа
Тривиальная полугруппа ( Полугруппа с одним элементом )
Полугруппа с тремя элементами
Специальные классы полугрупп
Ссылки [ править ]
^ «Полугруппа с двумя элементами» . PlanetMath .
^ Fridrik Диего; Кристин Халла Йонсдоттир (июль 2008 г.). «Ассоциативные операции над трехэлементным множеством» (PDF) . Энтузиаст математики из Монтаны . 5 (2 и 3): 257–268 . Проверено 6 февраля 2014 года .CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ a b Андреас Дистлер, Классификация и перечисление конечных полугрупп. Архивировано 2 апреля 2015 г. в Wayback Machine , докторская диссертация, Университет Сент-Эндрюс.
^ Синиша Црвенкович; Иван Стойменович. "Алгоритм для таблиц Кэли алгебр". 23 (2). Univ. у Новом Саду, Зб. Рад. Природ.-мат. Фак. Обзор исследований, факультет естественных наук: 221–231.Cite journal requires |journal= (help) [1] (доступ 9 мая 2009 г.)
Перейти ↑ John A Hildebrant (2001). Справочник программ конечных полугрупп . (Препринт).[2]
