В математике , А тривиальная полугруппа (а полугруппа с одним элементом ) является полугруппой , для которой мощность от основного множества является одним . Число различных неизоморфных полугрупп с одним элементом равно единице. Если S = { a } - полугруппа с одним элементом, то таблица Кэли группы S является
а а а
Единственный элемент S является нулевым элементом 0 из S , а также является единичным элементом 1 из S . [1] Однако не все теоретики полугруппы рассматривают единственный элемент в полугруппе с одним элементом как нулевой элемент полугруппы. Они определяют нулевые элементы только в полугруппах, имеющих не менее двух элементов. [2] [3]
Несмотря на свою крайнюю тривиальность, полугруппа с одним элементом важна во многих ситуациях. Это отправная точка для понимания структуры полугрупп. Он служит контрпримером для освещения многих ситуаций. Например, полугруппа с одним элементом является единственной полугруппой, в которой 0 = 1, то есть нулевой элемент и единичный элемент равны. Кроме того, если S является полугруппой с одним элементом, полугруппа , полученное присоединением единичного элемента к S изоморфна полугруппе , полученное присоединения к нулевому элементу S .
Полугруппа с одним элементом также является группой .
На языке теории категорий любая полугруппа с одним элементом является конечным объектом в категории полугрупп.
См. Также [ править ]
- Тривиальная группа
- Нулевое кольцо
- Поле с одним элементом
- Пустая полугруппа
- Полугруппа с двумя элементами
- Полугруппа с тремя элементами
- Специальные классы полугрупп
Ссылки [ править ]
- ^ AH Клиффорд, GB Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп . Я (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ PA Грийе (1995). Полугруппы . CRC Press . С. 3–4. ISBN 978-0-8247-9662-4.
- ↑ JM Howie (1976). Введение в теорию полугрупп . Монографии LMS. 7 . Академическая пресса. С. 2–3.
