В математической логике и металогике формальная система называется полной в отношении того или иного свойства , если всякая формула , обладающая этим свойством, может быть выведена с помощью этой системы, т. е. является одной из ее теорем ; в противном случае говорят, что система неполна . Термин «полный» также используется без уточнения, с разными значениями в зависимости от контекста, в основном относящимися к свойству семантической валидности . Интуитивно система называется полной именно в этом смысле, если она может вывести любую истинную формулу.
Свойство , обратное полноте, называется обоснованностью : система является надежной по отношению к некоторому свойству (в основном семантической достоверности), если каждая из ее теорем обладает этим свойством.
Формальный язык выразительно завершен , если он может выразить предмет, для которого он предназначен.
Набор логических связок , связанных с формальной системой, является функционально полным , если он может выражать все пропозициональные функции .
Семантическая полнота обратна правильности для формальных систем . Формальная система полна в отношении тавтологичности или «семантически завершена», когда все ее тавтологии являются теоремами , тогда как формальная система «надежна», когда все теоремы являются тавтологиями (то есть они являются семантически верными формулами: формулами, которые истинны при любых условиях). интерпретация языка системы, согласующаяся с правилами системы). То есть,
Формальная система S называется сильно полной или полной в сильном смысле , если для любого набора посылок Γ любая формула, семантически следующая из Γ, выводима из Γ. То есть: