Дуализирующий пучок

---

В алгебраической геометрии дуализирующий пучок на собственной схеме X размерности n над полем k является когерентным пучком вместе с линейным функционалом${\ Displaystyle \ омега _ {X}}$

для каждого когерентного пучка F на X (верхний индекс * относится к двойственному векторному пространству ). ^[1] Линейный функционал называется морфизмом следов .${\ Displaystyle т_ {Х}}$

Пара , если она существует, единственна с точностью до естественного изоморфизма. На самом деле, на языке теории категорий — это объект, представляющий контравариантный функтор из категории когерентных пучков на X в категорию k - векторных пространств.${\ Displaystyle (\ омега _ {Х}, т_ {Х})}$${\ Displaystyle \ омега _ {X}}$${\ Displaystyle F \ mapsto \ operatorname {H} ^ {n} (X, F) ^ {*}}$

Для нормального проективного многообразия X дуализирующий пучок существует, и это фактически канонический пучок : где — канонический дивизор . В более общем случае дуализирующий пучок существует для любой проективной схемы.${\ displaystyle \ omega _ {X} = {\ mathcal {O}} _ {X} (K_ {X})}$${\ Displaystyle К_ {Х}}$

Существует следующий вариант теоремы двойственности Серра : для проективной схемы X чистой размерности n и пучка Коэна–Маколея F на X такой, что имеет чистую размерность n , существует естественный изоморфизм ^[2]${\ Displaystyle \ OperatorName {Supp} (F)}$

В частности, если X само является схемой Коэна–Маколея , то указанная выше двойственность имеет место для любого локально свободного пучка.

---