Остаточная (численный анализ)

Грубо говоря, остаток - это ошибка результата. ^[1] Чтобы быть точным, предположим, что мы хотим найти x такое, что

${\ Displaystyle е (х) = б. \,}$

Учитывая приближение x ₀ к x , невязка равна

${\ displaystyle bf (x_ {0}) \,}$

то есть "то, что осталось от правой части" после вычитания f ( x ₀ ) "(таким образом, название" остаток ": то, что осталось, остальное). С другой стороны, ошибка

${\ Displaystyle х-х_ {0} \,}$

Если точное значение x неизвестно, остаток можно вычислить, а ошибку нельзя.

Остаток приближения функции [ править ]

Аналогичная терминология используется в отношении дифференциальных , интегральных и функциональных уравнений . Для аппроксимации решения уравнения${\ Displaystyle ~ е _ {\ rm {а}} ~}$${\ displaystyle ~ f ~}$

${\displaystyle T(f)(x)=g(x)}$ ,

остаток может быть функцией

${\displaystyle ~g(x)~-~T(f_{\rm {a}})(x)}$

или можно сказать, что это максимум нормы этой разницы

${\displaystyle \max _{x\in {\mathcal {X}}}|g(x)-T(f_{\rm {a}})(x)|}$

в области , где функция должна приближать решение или некоторый интеграл от функции разности, например:${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle ~f_{\rm {a}}~}$${\displaystyle ~f~}$

${\displaystyle ~\int _{\mathcal {X}}|g(x)-T(f_{\rm {a}})(x)|^{2}~{\rm {d}}x.}$

Во многих случаях малость невязки означает, что приближение близко к решению, т. Е.

${\displaystyle ~\left|{\frac {f_{\rm {a}}(x)-f(x)}{f(x)}}\right|\ll 1.~}$

В этих случаях исходное уравнение считается корректным ; а невязку можно рассматривать как меру отклонения приближения от точного решения.

Использование остатков [ править ]

Когда точное решение неизвестно, можно искать приближение с малой невязкой.

Невязки появляются во многих областях математики, включая итерационные решатели, такие как обобщенный метод минимальной невязки , который ищет решения уравнений путем систематической минимизации невязки.

Ссылки [ править ]