В математике , А уравнение Риккати в самом узком смысле является любым первым порядка обыкновенное дифференциальное уравнение , что является квадратичным относительно неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида
где а также . Еслиуравнение сводится к уравнению Бернулли , а еслиуравнение становится линейным обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка .
Уравнение названо в честь Якопо Риккати (1676–1754). [1]
В более общем смысле термин уравнение Риккати используется для обозначения матричных уравнений с аналогичным квадратичным членом, которые встречаются как в непрерывном, так и в дискретном линейно-квадратично-гауссовском управлении . Их стационарная (нединамическая) версия называется алгебраическим уравнением Риккати .
Приведение к линейному уравнению второго порядка
Нелинейное уравнение Риккати всегда может быть уменьшена до второго порядка линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ): [2] If
тогда, где бы отлична от нуля и дифференцируема, удовлетворяет уравнению Риккати вида
где а также , так как
Подстановка , следует, что удовлетворяет линейному ОДУ 2-го порядка
поскольку
чтобы
и поэтому
Решение этого уравнения приведет к решению исходного уравнения Риккати.
Приложение к уравнению Шварца
Важным приложением уравнения Риккати является дифференциальное уравнение Шварца 3-го порядка
которое встречается в теории конформных отображений и однолистных функций . В этом случае ОДУ находятся в комплексной области, а дифференцирование осуществляется по комплексной переменной. (Производная Шварца обладает замечательным свойством инвариантности относительно преобразований Мёбиуса, т. е. в любое время не равно нулю.) Функция удовлетворяет уравнению Риккати
По вышеизложенному где является решением линейного ОДУ
С , интеграция дает для некоторой постоянной . С другой стороны, любое другое независимое решение линейного ОДУ имеет постоянный ненулевой вронскиан что можно считать после масштабирования. Таким образом
так что уравнение Шварца имеет решение
Получение решений по квадратуре
Соответствие между уравнениями Риккати и линейными ОДУ второго порядка имеет и другие последствия. Например, если известно одно решение ОДУ 2-го порядка, то известно, что другое решение может быть получено с помощью квадратуры, т. Е. Простого интегрирования. То же верно и для уравнения Риккати. Фактически, если одно конкретное решение можно найти, общее решение получается как
Подстановка
в уравнении Риккати дает
и с тех пор
следует, что
или же
которое является уравнением Бернулли . Подстановка, необходимая для решения этого уравнения Бернулли, следующая:
Подстановка
непосредственно в уравнение Риккати дает линейное уравнение
Тогда набор решений уравнения Риккати дается выражением
где z - общее решение упомянутого выше линейного уравнения.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Риккати, Якопо (1724) "Animadversiones in aequationes Differentiales secundi gradus" (Наблюдения относительно дифференциальных уравнений второго порядка), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa , 8 : 66-73. Перевод оригинальной латыни на английский, сделанный Яном Брюсом.
- ↑ Ince, EL (1956) [1926], Ordinary Differential Equations , New York: Dover Publications, стр. 23–25.
дальнейшее чтение
- Хилле, Эйнар (1997) [1976], Обычные дифференциальные уравнения в комплексной области , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
- Нехари, Зеев (1975) [1952], Конформное отображение , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
- Полянин, Андрей Д .; Зайцев, Валентин Ф. (2003), Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-297-2
- Зеликин, Михаил И. (2000), Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении , Берлин: Springer-Verlag
- Рид, Уильям Т. (1972), Дифференциальные уравнения Риккати , Лондон: Academic Press
Внешние ссылки
- "Уравнение Риккати" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Уравнение Риккати в EqWorld: мир математических уравнений.
- Дифференциальное уравнение Риккати в Mathworld
- Функция MATLAB для решения алгебраического уравнения Риккати с непрерывным временем.
- SciPy имеет функции для решения непрерывного алгебраического уравнения Риккати и дискретного алгебраического уравнения Риккати .