Уравнение Ричардса

Уравнение Ричардса представляет движение воды в ненасыщенных почвах и приписывается Лоренцо А. Ричардсу, который опубликовал уравнение в 1931 году. ^[1] Это нелинейное уравнение в частных производных , которое часто трудно аппроксимировать, поскольку оно не имеет уравнения аналитическое решение в закрытой форме . Уравнение основано на законе Дарси для потока грунтовых вод, который был разработан для насыщенного, а не ненасыщенного потока в пористой среде. Для этого добавляется дополнительное требование непрерывности. ^{[ указать ]} Переходная форма уравнения Ричардса только в вертикальном направлении:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right]\ }$

где

${\displaystyle K}$- гидравлическая проводимость ,

${\displaystyle h}$головка матрикса, индуцированная капиллярным действием ,

${\displaystyle z}$это возвышение над вертикальной опорной точкой ,

${\displaystyle \theta }$- объемное содержание воды , а

${\displaystyle t}$это время .

Хотя это уравнение приписывают Ричардсу, оно было первоначально введено 9 годами ранее Льюисом Фри Ричардсоном в 1922 году. ^{[2] [3]}

Вывод [ править ]

Здесь мы показываем, как вывести уравнение Ричардса для вертикального направления в очень упрощенной форме. Сохранение массы говорит, что скорость изменения насыщения в замкнутом объеме равна скорости изменения общей суммы потоков в этот объем и из него, выражаясь математическим языком:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\vec {\nabla }}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{{\vec {q}}_{i,\,{\text{in}}}}-\sum _{j=1}^{m}{{\vec {q}}_{j,\,{\text{out}}}}\right)}$

Поместите в 1D форму для направления :${\displaystyle {\hat {k}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial z}}q}$

Течение в горизонтальном направлении формулируется эмпирическим законом Дарси:

${\displaystyle q=-K{\frac {\partial H}{\partial z}}}$

Подставляя q в приведенное выше уравнение, мы получаем:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K{\frac {\partial H}{\partial z}}\right]}$

Подставляя H = h + z :

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+{\frac {\partial z}{\partial z}}\right)\right]={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right]}$

Затем мы получаем приведенное выше уравнение, которое также называется смешанной формой ^[4] уравнения Ричардса.

Составы [ править ]

Уравнение Ричардса фигурирует во многих статьях в экологической литературе, поскольку оно описывает поток в вадозной зоне между атмосферой и водоносным горизонтом. Он также появляется в чисто математических журналах, потому что имеет нетривиальные решения. Обычно он представлен в одной из трех форм. Смешанная форма , содержащая давление и насыщение было описано выше. Он также может присутствовать в двух других составах: на основе головы и на основе насыщенности .

Голова [ править ]

${\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(K(h)\nabla H\right)}$

Где C (h) [1 / L] - функция, описывающая скорость изменения насыщенности по отношению к матрице:

${\displaystyle C(h)\equiv {\frac {\partial \theta }{\partial h}}}$

Эта функция в литературе называется «удельной влагоемкостью» и может быть определена для различных типов почвы с помощью подбора кривой и лабораторных экспериментов, измеряющих скорость инфильтрации воды в столб почвы, как описано, например, у van Genuchten (1980). ^[5]

На основе насыщенности [ править ]

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot D(\theta )\nabla \theta }$

Где D ( θ ) [L ² / T] - «коэффициент диффузии воды в почве»:

${\displaystyle D(\theta )\equiv {\frac {K(\theta )}{C(\theta )}}\equiv K(\theta ){\frac {\partial h}{\partial \theta }}}$

Ограничения [ править ]

Численное решение уравнения Ричардса - одна из самых сложных задач в науке о Земле. ^[6] Уравнение Ричардса подвергалось критике за то, что оно затратно с точки зрения вычислений и непредсказуемо ^{[7] [8],} потому что нет гарантии, что решатель сойдется для определенного набора определяющих соотношений почвы. Это предотвращает использование метода в общих приложениях, где высок риск несовпадения. Этот метод также подвергался критике за чрезмерное подчеркивание роли капиллярности ^[9] и за то, что он в некотором смысле «чрезмерно упрощен» ^[10]. При одномерном моделировании инфильтрации дождевых осадков в сухие почвы тонкая пространственная дискретность менее одного см является требуется вблизи поверхности земли., ^[11]что связано с малым размером представительного элементарного объема для многофазного течения в пористой среде. В трехмерных приложениях численное решение уравнения Ричардса подчиняется ограничениям на соотношение сторон, где отношение горизонтального к вертикальному разрешению в области решения должно быть меньше примерно 7.

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Проникновение (гидрология)
• Кривая удержания воды
• Метод потока вадозной зоны с конечной влажностью
• Уравнение скорости влажности почвы