Предел Роша

Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверяя сделанные утверждения и добавляя встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Июль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ближе к пределу Роша тело деформируется приливными силами .

В пределах Роша собственная гравитация массы больше не может противостоять приливным силам, и тело распадается.

Частицы, расположенные ближе к первичному элементу, движутся быстрее, чем частицы дальше от него, как показано красными стрелками.

Различная орбитальная скорость материала в конечном итоге заставляет его образовывать кольцо.

В небесной механике , то предел Роша , также называемый радиусом Роша , этом расстояние от небесного тела , в течение которого второе небесное тело, скреплено только своя собственной силой тяжести , будет разрушаться из - за первое тело приливных сил , превышающих второе тела гравитационное притяжение. ^[1] Внутри предела Роша вращающийся по орбите материал рассеивается и образует кольца , а за пределами предела материал имеет тенденцию к слиянию . Радиус Роша зависит от радиуса первого тела и от соотношения плотностей тел.

Термин назван в честь Эдуарда Роша (произносится [ ʁ ɔ ʃ ] (французский), / r ɔː ʃ / rawsh (английский)), французского астронома, который первым вычислил этот теоретический предел в 1848 году ^[2].

Объяснение [ править ]

Комета Шумейкера-Леви 9 распалась под воздействием приливных сил Юпитера на цепочку более мелких тел в 1992 году, а затем столкнулась с планетой в 1994 году.

Предел Роша обычно применяется к распаду спутника из-за приливных сил, вызванных его основным телом, вокруг которого он вращается . Части спутника, расположенные ближе к первичной обмотке, сильнее притягиваются гравитацией от первичной обмотки, чем части, расположенные дальше; это несоответствие эффективно отделяет ближнюю и дальнюю части спутника друг от друга, и если несоответствие (в сочетании с любыми центробежными эффектами из-за вращения объекта) больше, чем сила тяжести, удерживающая спутник вместе, оно может тянуть спутник Кроме. Какие-то настоящие спутники, как естественные, так и искусственные, могут вращаться в пределах их Роша, потому что они удерживаются вместе силами, отличными от гравитации. Объекты, лежащие на поверхности такого спутника, будут подниматься приливными силами. Более слабый спутник, такой как комета , может быть разбит, когда он пройдет в пределах своего предела Роша.

Поскольку в пределах предела Роша приливные силы преодолевают гравитационные силы, которые в противном случае могли бы удерживать спутник вместе, ни один спутник не может гравитационно объединиться из более мелких частиц в этом пределе. Действительно, почти все известные планетные кольца находятся в пределах своего предела Роша. (Известные исключения Сатурн Е-кольцо и Фиби кольцо . Эти два кольца могли бы быть остатками от прото-планетарной планеты аккреционного диска , который не сконцентрирован в moonlets, или , наоборот , которые образуются , когда луна прошла в пределах своего предела Roche и распалась. )

Предел Роша - не единственный фактор, заставляющий кометы распадаться. Расщепление под действием теплового напряжения , внутреннего давления газа и вращательное расщепление - это еще один способ расщепления кометы под действием напряжения.

Избранные примеры [ править ]

В таблице ниже показана средняя плотность и экваториальный радиус для выбранных объектов Солнечной системы . ^{[ необходима цитата ]}

Уравнения для пределов Роша связывают минимальный устойчивый радиус орбиты с отношением плотностей двух объектов и радиуса основного тела. Следовательно, используя приведенные выше данные, можно рассчитать пределы Роша для этих объектов. Это было проделано дважды для каждого из них, принимая во внимание крайности случаев жесткого и жидкого тела. Средняя плотность комет принята около 500 кг / м ³ .

В таблице ниже приведены пределы Роша, выраженные в километрах и первичных радиусах. ^{[ Править ]} средний радиус орбиты можно сравнить с пределами Roche. Для удобства в таблице указан средний радиус орбиты для каждой, исключая кометы, орбиты которых чрезвычайно изменчивы и эксцентричны.

Эти тела выходят далеко за пределы Роша по разным причинам: от 21 для Луны (выше ее предела Роша с жидким телом) как части системы Земля-Луна до сотен для Земли и Юпитера.

В приведенной ниже таблице указаны значения максимального сближения каждого спутника на его орбите, разделенные на его собственный предел Роша. ^{[ необходима цитата ]} Опять же, даны расчеты как твердых, так и жидких тел. Обратите внимание, что Пан , Корделия и Наяд , в частности, могут быть довольно близки к своим фактическим точкам разрыва.

На практике плотность большинства внутренних спутников планет-гигантов неизвестна. В этих случаях, показанных курсивом , предполагаются вероятные значения, но их фактический предел Роша может отличаться от указанного значения.

Определение [ править ]

Предельное расстояние, на которое спутник может приблизиться без разрыва, зависит от его жесткости. С одной стороны, полностью жесткий спутник будет сохранять свою форму до тех пор, пока приливные силы не разорвут его на части. С другой стороны, спутник с высокой текучестью постепенно деформируется, что приводит к увеличению приливных сил, в результате чего спутник удлиняется, еще больше усугубляя приливные силы и вызывая более быстрое разрушение.

Большинство реальных спутников лежат где-то между этими двумя крайностями, при этом прочность на растяжение не делает спутник ни идеально жестким, ни идеально текучим. Например, астероид из груды обломков будет вести себя больше как жидкость, чем твердый скалистый; ледяное тело сначала будет вести себя довольно жестко, но станет более жидким по мере накопления приливного тепла и его льдов, которые начнут таять.

Но обратите внимание, что, как определено выше, предел Роша относится к телу, удерживаемому вместе исключительно силами гравитации, которые заставляют иначе несвязанные частицы объединяться, образуя, таким образом, рассматриваемое тело. Предел Роша также обычно вычисляется для случая круговой орбиты, хотя его несложно изменить для применения к случаю (например) тела, проходящего через первичный элемент по параболической или гиперболической траектории.

Расчет жесткого спутника [ править ]

Твердое тело Рош предел представляет собой упрощенный расчет для сферического спутника. Неправильные формы, такие как формы приливной деформации на теле или первичной орбите, игнорируются. Предполагается, что он находится в гидростатическом равновесии . Эти предположения, хотя и нереалистичные, значительно упрощают расчеты.

Предел Роша для жесткого сферического спутника - это расстояние от первичной обмотки, на котором гравитационная сила, действующая на пробную массу на поверхности объекта, в точности равна приливной силе, отталкивающей массу от объекта: ^{[3] [ 4]}${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle d = R_ {M} \ left (2 {\ frac {\ rho _ {M}} {\ rho _ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}$

где - радиус первичной обмотки, - плотность первичной обмотки, - плотность спутника. Это может быть эквивалентно записано как${\ displaystyle R_ {M}}$${\ displaystyle \ rho _ {M}}$${\ displaystyle \ rho _ {m}}$

${\ displaystyle d = R_ {m} \ left (2 {\ frac {M_ {M}} {M_ {m}}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}$

где это радиус вторичных, является массой из первичных, и это масса вторичных.${\ displaystyle R_ {m}}$${\ displaystyle M_ {M}}$${\ displaystyle M_ {m}}$

Это зависит не от размеров объектов, а от соотношения плотностей. Это орбитальное расстояние, внутри которого рыхлый материал (например, реголит ) с поверхности спутника, ближайшего к первичной обмотке, будет оттянут, и аналогично материал на стороне, противоположной первичной обмотке, также будет оттягиваться от, а не к ней. спутник.

Обратите внимание, что это приблизительный результат, поскольку при его выводе не учитываются сила инерции и жесткая конструкция.

Вывод формулы [ править ]

Чтобы определить предел Роша, рассмотрим небольшую массу на поверхности спутника, ближайшего к первичной. На эту массу действуют две силы : гравитационное притяжение к спутнику и гравитационное притяжение к первичному элементу. Предположим, что спутник находится в свободном падении вокруг первичной обмотки и что приливная сила является единственным значимым термином гравитационного притяжения первичной обмотки. Это предположение является упрощением, поскольку свободное падение действительно применимо только к центру планеты, но его будет достаточно для этого вывода. ^[5]${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u}$

Гравитационное притяжение массы к спутнику с массой и радиусом может быть выражено в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона .${\ displaystyle F _ {\ text {G}}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle F _ {\ text {G}} = {\ frac {Gmu} {r ^ {2}}}}$

приливные силы от массы к первичному с радиусом и массой , на расстоянии между центрами двух тел, могут быть выражены примерно так${\ displaystyle F _ {\ text {T}}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle F _ {\ text {T}} = {\ frac {2GMur} {d ^ {3}}}}$.

Чтобы получить это приближение, найдите разницу в гравитационном притяжении главного компонента в центре спутника и на краю спутника, ближайшего к главному:

${\ displaystyle F _ {\ text {T}} = {\ frac {GMu} {(dr) ^ {2}}} - {\ frac {GMu} {d ^ {2}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {d^{2}-(d-r)^{2}}{d^{2}(d-r)^{2}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr-r^{2}}{d^{4}-2d^{3}r+r^{2}d^{2}}}}$

В приближении, где и , можно сказать, что в числителе и каждый член в знаменателе обращается к нулю, что дает нам:${\displaystyle r\ll R}$${\displaystyle R<d}$${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle F_{\text{T}}=GMu{\frac {2dr}{d^{4}}}}$

${\displaystyle F_{\text{T}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$

Предел Роша достигается, когда гравитационная сила и приливная сила уравновешивают друг друга.

${\displaystyle F_{\text{G}}=F_{\text{T}}\;}$

или же

${\displaystyle {\frac {Gmu}{r^{2}}}={\frac {2GMur}{d^{3}}}}$,

что дает предел Роша , при${\displaystyle d}$

${\displaystyle d=r\left(2\,{\frac {M}{m}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Радиус спутника не должен фигурировать в выражении для предела, поэтому его переписывают в терминах плотности.

Для сферы массу можно записать как${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\frac {4\pi \rho _{M}R^{3}}{3}}}$где - радиус первичной обмотки.${\displaystyle R}$

И так же

${\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}$где - радиус спутника.${\displaystyle r}$

Подстановка масс в уравнение для предела Роша и сокращение дает${\displaystyle 4\pi /3}$

${\displaystyle d=r\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}r^{3}}}\right)^{1/3}}$,

который можно упростить до следующего предела Роша:

${\displaystyle d=R\left(2\,{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.26R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$.

Более точная формула [ править ]

Поскольку близкий спутник, вероятно, будет вращаться по почти круговой орбите с синхронным вращением , подумайте, как центробежная сила от вращения повлияет на результаты. ^{[ необходима цитата ]} Эта сила

${\displaystyle F_{C}=\omega ^{2}ur={\frac {GMur}{d^{3}}}}$

и добавляется к F _T . Выполнение расчета баланса сил дает следующий результат для предела Роша:

${\displaystyle d=R_{M}\left(3\;{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{M}\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$ .......... (1)

или: .......... (2)${\displaystyle d=R_{m}\left(3\;{\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 1.442R_{m}\left({\frac {M_{M}}{M_{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Используйте (где - радиус спутника) для замены в формуле (1), мы можем получить третью формулу:${\displaystyle m={\frac {4\pi \rho _{m}r^{3}}{3}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho _{m}}$

${\displaystyle d=\left({\frac {9M_{M}}{4\pi \rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.8947\left({\frac {M_{M}}{\rho _{m}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$ .......... (3)

Таким образом, достаточно наблюдать массу звезды (планеты) и оценить плотность планеты (спутника), чтобы вычислить предел Роша для планеты (спутника) в звездной (планетной) системе. ^{[ необходима цитата ]}

Предел Роша, сфера Хилла и радиус планеты [ править ]

Рассмотрим планету с плотностью и радиусом , вращающаяся вокруг звезды вокруг нее - это физический смысл предела Роша, полости Роша и сферы Хилла.${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle r}$

Формулу (2) можно описать как: идеальная математическая симметрия. Это астрономическое значение предела Роша и сферы Хилла.${\displaystyle R_{\text{Roche}}=R_{\text{Hill}}{\sqrt[{3}]{\frac {3M}{m}}}=R_{\text{secondary}}{\sqrt[{3}]{\frac {3M}{m}}}}$

Примечание: предел Роша и сфера Хилла полностью отличаются друг от друга, но оба являются работой Эдуара Роша .

Хилл сфера из астрономического тела является областью , в которой она доминирует притяжение спутников , тогда как предел Роше минимальное расстояние до которой спутник может приблизиться к своей основной корпус без приливной силы , преодолевающей силу тяжести внутреннего удержания спутника вместе.

Жидкие спутники [ править ]

Более точный подход к вычислению предела Роша учитывает деформацию спутника. В качестве крайнего примера можно привести жидкий спутник с приливной синхронизацией, вращающийся вокруг планеты, где любая сила, действующая на спутник, деформирует его в вытянутый сфероид .

Расчет сложен, и его результат не может быть представлен в точной алгебраической формуле. Сам Рош получил следующее приближенное решение для предела Роша:

${\displaystyle d\approx 2.44R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}}$

Тем не менее, лучшее приближение, учитывающее сжатие первичной обмотки и массу спутника:

${\displaystyle d\approx 2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\left({\frac {(1+{\frac {m}{3M}})+{\frac {c}{3R}}(1+{\frac {m}{M}})}{1-c/R}}\right)^{1/3}}$

где это сплюснутость из первичных. Числовой коэффициент рассчитывается с помощью компьютера.${\displaystyle c/R}$

Жидкий раствор подходит для тел, которые только слабо удерживаются вместе, таких как комета. Например, затухающая орбита кометы Шумейкера – Леви 9 вокруг Юпитера в июле 1992 года пересекла предел Роша, в результате чего она распалась на несколько более мелких частей. При его следующем приближении в 1994 году осколки врезались в планету. Шумейкер-Леви 9 был впервые обнаружен в 1993 году, но его орбита указала на то, что он был захвачен Юпитером за несколько десятилетий до этого. ^[6]

Вывод формулы [ править ]

Поскольку случай жидкого спутника более тонкий, чем жесткий, спутник описывается с некоторыми упрощающими предположениями. Во-первых, предположим, что объект состоит из несжимаемой жидкости, имеющей постоянную плотность и объем, которые не зависят от внешних или внутренних сил.${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle V}$

Во-вторых, предположим, что спутник движется по круговой орбите и остается в синхронном вращении . Это означает , что угловая скорость , при которой она вращается вокруг его центра масс такой же , как угловая скорость , при которой она двигается вокруг общей системы барицентра .${\displaystyle \omega }$

Угловая скорость определяется третьим законом Кеплера :${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ^{2}=G\,{\frac {M+m}{d^{3}}}.}$

Когда M намного больше m, это будет близко к

${\displaystyle \omega ^{2}=G\,{\frac {M}{d^{3}}}.}$

Синхронное вращение означает, что жидкость не движется, и проблему можно рассматривать как статическую. Следовательно, вязкость и трение жидкости в этой модели не играют роли, поскольку эти величины будут играть роль только для движущейся жидкости.

Принимая во внимание эти предположения, следует учитывать следующие силы:

• Сила притяжения за счет основного тела;
• центробежная сила во вращающейся системе отсчета; и
• поле самогравитации спутника.

Поскольку все эти силы консервативны, их можно выразить с помощью потенциала. Более того, поверхность спутника - эквипотенциальная. В противном случае разность потенциалов вызовет силы и движение некоторых частей жидкости на поверхности, что противоречит предположению статической модели. Учитывая расстояние от основного корпуса, необходимо определить форму поверхности, которая удовлетворяет условию эквипотенциальности.

Поскольку орбита была принята круговой, общая гравитационная сила и орбитальная центробежная сила, действующие на основное тело, сводятся к нулю. Остается две силы: приливная сила и вращательная центробежная сила. Приливная сила зависит от положения относительно центра масс, уже рассмотренного в жесткой модели. Для малых тел расстояние жидких частиц от центра тела мало по сравнению с расстоянием d до основного тела. Таким образом, приливная сила может быть линеаризована, что приведет к формуле для F _T, приведенной выше.

В то время как эта сила в жесткой модели зависит только от радиуса r спутника, в случае жидкости необходимо учитывать все точки на поверхности, а приливная сила зависит от расстояния Δd от центра масс до данной частицы. проецируется на линию, соединяющую спутник и основной корпус. Мы называем Δd радиальное расстояние . Поскольку приливная сила линейна по Δd , связанный с ней потенциал пропорционален квадрату переменной, и поскольку мы имеем${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle V_{T}=-{\frac {3GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}$

Точно так же центробежная сила имеет потенциал

${\displaystyle V_{C}=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\Delta d^{2}=-{\frac {GM}{2d^{3}}}\Delta d^{2}\,}$

для угловой скорости вращения .${\displaystyle \omega }$

Мы хотим определить форму спутника, для которой сумма потенциала самогравитации и V _T + V _C постоянна на поверхности тела. В общем, такую ​​задачу очень трудно решить, но в данном конкретном случае ее можно решить умелым предположением из-за квадратичной зависимости приливного потенциала от радиального расстояния Δd В первом приближении центробежным потенциал У _с и рассматривать только приливной потенциал V _T .

Поскольку потенциал V _T изменяется только в одном направлении, то есть в направлении к основному телу, можно ожидать, что спутник примет осесимметричную форму. Точнее, мы можем предположить, что он принимает форму твердого тела революции . Автопотенциал на поверхности такого твердого тела вращения может зависеть только от радиального расстояния до центра масс. Действительно, пересечение спутника и плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей тела, представляет собой диск, граница которого по нашим предположениям представляет собой круг постоянного потенциала. Если разность между потенциалом самогравитации и V _T постоянна, оба потенциала должны одинаково зависеть от Δd. Другими словами, собственный потенциал должен быть пропорционален квадрату Δd . Тогда можно показать, что эквипотенциальное решение представляет собой эллипсоид вращения. При постоянной плотности и объёме самопотенциал такого тела зависит только от эксцентриситета эллипсоида ε :

${\displaystyle V_{s}=V_{s_{0}}+G\pi \rho _{m}\cdot f(\varepsilon )\cdot \Delta d^{2},}$

где - постоянный собственный потенциал на пересечении круговой кромки тела и центральной плоскости симметрии, задаваемый уравнением Δd = 0 .${\displaystyle V_{s_{0}}}$

Безразмерная функция f должна быть определена из точного решения для потенциала эллипсоида

${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{\varepsilon ^{3}}}\cdot \left[\left(3-\varepsilon ^{2}\right)\cdot \operatorname {artanh} \varepsilon -3\varepsilon \right]}$

и, как ни странно, не зависит от громкости спутника.

Хотя явный вид функции f выглядит сложным, ясно, что мы можем выбрать значение ε так, чтобы потенциал V _T был равен V _S плюс константа, не зависящая от переменной Δd . При осмотре это происходит, когда

${\displaystyle {\frac {2G\pi \rho _{M}R^{3}}{d^{3}}}=G\pi \rho _{m}f(\varepsilon )}$

Это уравнение можно решить численно. График показывает, что существует два решения, и поэтому меньшее из них представляет собой устойчивую форму равновесия (эллипсоид с меньшим эксцентриситетом). Это решение определяет эксцентриситет приливного эллипсоида как функцию расстояния до основного тела. Производная функции f имеет нуль, где достигается максимальный эксцентриситет. Это соответствует пределу Роша.

Точнее, предел Роша определяется тем фактом, что функция f , которую можно рассматривать как нелинейную меру силы, сжимающей эллипсоид в сторону сферической формы, ограничена так, что существует эксцентриситет, при котором эта сжимающая сила становится максимальной. . Поскольку при приближении спутника к основному телу приливная сила увеличивается, очевидно, что существует критическое расстояние, на котором эллипсоид разрывается.

Максимальный эксцентриситет может быть вычислен численно как ноль производной f ' . Получается

${\displaystyle \varepsilon _{\text{max}}\approx 0{.}86}$

что соответствует отношению осей эллипсоида 1: 1.95. Подставляя это в формулу для функции f, можно определить минимальное расстояние, на котором существует эллипсоид. Это предел Роша,

${\displaystyle d\approx 2{.}423\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}}\,.}$

Удивительно, но учет центробежного потенциала имеет очень мало значения, хотя объект становится эллипсоидом Роша , общим трехосным эллипсоидом со всеми осями, имеющими разную длину. Потенциал становится гораздо более сложной функцией длины оси, требующей эллиптических функций . Однако решение происходит во многом так же, как и в случае только приливных волн, и мы находим

${\displaystyle d\approx 2{.}455\cdot R\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}}\,.}$

Отношение полярного направления к направлению орбиты и осям основного направления составляет 1: 1,06: 2,07.

См. Также [ править ]

• Лобе Роша
• Предел Чандрасекара
• Сфера холма
• Спагеттификация (крайний случай приливного искажения)
• Черная дыра
• Тритон (луна) (спутник Нептуна)
• Комета Шумейкера – Леви 9

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Эдуар Рош: «La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné» (Фигура жидкой массы, подверженной притяжению удаленной точки), часть 1 , Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences , Volume 1 (1849) 243–262. 2.44 упоминается на странице 258. (на французском языке)
• Эдуар Рош: «La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné», часть 2 , Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences , Volume 1 (1850) 333–348. (На французском)
• Эдуар Рош: «La figure d'une masse fluide soumise à l'attraction d'un point éloigné», часть 3 , Académie des Sciences de Montpellier: Mémoires de la section des Sciences , Volume 2 (1851) 21–32. (На французском)
• Джордж Ховард Дарвин, "О фигуре и устойчивости жидкого спутника" , " Научные статьи", том 3 (1910) 436–524.
• Джеймс Хопвуд Джинс, Проблемы космогонии и звездной динамики , Глава III: Эллипсоидальные конфигурации равновесия , 1919.
• С. Чандрасекар, Эллипсоидальные фигуры равновесия (Нью-Хейвен: издательство Йельского университета, 1969), Глава 8: Эллипсоиды Роша (189–240).
• Чандрасекхар, С. (1963). «Равновесие и устойчивость эллипсоидов Роша» . Астрофизический журнал . 138 : 1182–1213. Bibcode : 1963ApJ ... 138.1182C . DOI : 10.1086 / 147716 .

Внешние ссылки [ править ]

• Обсуждение предела Роша
• Аудио: Каин / Гей - Астрономия бросает приливные силы во Вселенную - август 2007 г.
• Описание предела Роша из НАСА