Длина веревки

В теории физических узлов каждая реализация звена или узла имеет соответствующую длину веревки . Интуитивно это минимальная длина идеально гибкой веревки, которая необходима для завязывания данного звена или узла. Узлы и звенья, минимизирующие длину веревки, называются идеальными узлами и идеальными звеньями соответственно.

Определение [ править ]

Ropelength заузленного кривой определяется как отношение , где есть длина и является толщина узла из .${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle L (C) = \ OperatorName {Len} (C) / \ tau (C)}$${\ displaystyle \ operatorname {Len} (C)}$${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle \ тау (С)}$${\ displaystyle C}$

Длину веревки можно превратить в инвариант узла , задав длину веревки узла как минимальную длину веревки для всех реализующихся кривых .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Минимизаторы длины веревки [ править ]

Один из самых ранних вопросов теории узлов был сформулирован в следующих терминах:

Что касается длины веревки, это спрашивает, есть ли узел с такой длиной веревки . Ответ отрицательный: аргумент с использованием квадрискантов показывает, что длина веревки любого нетривиального узла должна быть не меньше . ^[1] Однако поиск ответа стимулировал исследования как теоретических, так и вычислительных. Было показано, что для каждого типа звена существует минимизатор длины троса, хотя он может относиться только к классу дифференцируемости . ^{[2] [3]} Для простейшего нетривиального узла, узла-трилистника, компьютерное моделирование показало, что его минимальная длина веревки составляет не более 16,372. ^[1]${\ displaystyle 12}$${\ displaystyle 15.66}$ ${\ displaystyle C ^ {1}}$

Зависимость от номера перехода [ править ]

Был проведен обширный поиск, чтобы показать взаимосвязь между длиной веревки и другими инвариантами узла, такими как число пересечений узла. Для каждого узла длина каната по крайней мере пропорциональна , где обозначает номер пересечения. ^[4] Существуют узлы и зацепления, а именно торические узлы и зацепления - Хопфа , для которых эта нижняя оценка является точной. То есть для этих узлов (в больших обозначениях O ) ^[3]${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ operatorname {Cr} (K) ^ {3/4}}$${\ displaystyle \ operatorname {Cr} (K)}$${\displaystyle (k,k-1)}$ ${\displaystyle k}$

С другой стороны, существуют также узлы, длина веревки которых больше, пропорциональная самому числу пересечения, а не меньшей его силе. ^[5] Это почти туго, как и любой узел,

Доказательство этой почти линейной верхней границы использует аргумент «разделяй и властвуй», чтобы показать, что минимальные проекции узлов могут быть вложены как плоские графы в кубическую решетку. ^[6] Однако никто еще не наблюдал семейства узлов с суперлинейной зависимостью длины от числа пересечений, и предполагается, что точная верхняя граница должна быть линейной. ^[7]

Ссылки [ править ]