В математике S-пространство - это регулярное топологическое пространство, которое наследственно отделимо, но не является пространством Линделёфа . L-пространство - это регулярное топологическое пространство, наследственно линделёфское, но не сепарабельное. Пространство сепарабельно, если оно имеет счетное плотное множество, и наследственно сепарабельное, если каждое подпространство сепарабельно.
Долгое время считалось, что проблема S-пространства и проблема L-пространства двойственны, т.е. если есть S-пространство в какой-то модели теории множеств, то есть L-пространство в той же модели, и наоборот - что не так.
В начале 1980-х было показано, что существование S-пространства не зависит от обычных аксиом ZFC . Это означает, что для доказательства существования S-пространства или доказательства отсутствия S-пространства нам нужно принять аксиомы, выходящие за рамки аксиом ZFC . Проблема L-пространства (может ли L-пространство существовать без дополнительных теоретико-множественных предположений, помимо предположений ZFC ) не была решена до недавнего времени.
Тодорцевич доказал, что под PFA нет S-пространств. Это означает, что каждый регулярныйнаследственно отделимое пространство Линделёф . Некоторое время считалось, что проблема L-пространства будет иметь аналогичное решение (что ее существование не зависит от ZFC ). Тодорцевич показал, что существует модель теории множеств с аксиомой Мартина, в которой есть L-пространство, но нет S-пространств. Кроме того, Тодорцевич нашел компактное S-пространство из вещественного числа Коэна .
В 2005 году Мур решил проблему L-пространства с помощью построения L-пространства , не предполагая дополнительных аксиом и путем объединения Todorcevic «S функции Rho с теорией чисел .
Источники
- KP Hart, Juniti Nagata, JE Vaughan: Encyclopedia of General Topology , Elsevier, 2003 ISBN 0080530869 , ISBN 9780080530864
- Стево Тодорцевич: «Проблемы разбиения в топологии» (главы 2, 5, 6 и 9), Contemporary Mathematics , 1989: Volume 84 ISBN 978-0-8218-5091-6 , ISBN 978-0-8218-7672-5
- Джастин Тэтч Мур: «Решение проблемы L-пространства», Журнал Американского математического общества , том 19, страницы 717–736, 2006 г.