В математической области теории множеств , то собственно принуждая аксиома ( PFA ) является значительным усилением аксиомы Мартина , где воздействия с условием счетной цепи (КТС) заменяется надлежащими воздействиями.
Заявление
Принуждая или частично упорядоченное множество P является надлежащим , если для всех регулярных бесчисленных кардиналов , Принуждая с P сохраняет стационарные подмножества из.
Собственно заставляя аксиому утверждает , что если Р является правильным и D α представляет собой плотное подмножество Р для каждого α <ω 1 , то есть фильтр GP такое, что D α ∩ G непусто для всех α <ω 1 .
Класс собственных форсировок, к которым могут применяться ПФА, достаточно велик. Например, стандартные рассуждения показывают, что если P ccc или ω-замкнуто , то P собственное. Если P - счетная опорная итерация правильных форсингов, то P правильная. Что особенно важно, все правильные форсировки сохраняют.
Последствия
PFA прямо подразумевает свою версию для форсирования ccc, аксиому Мартина . В кардинальной арифметике PFA подразумевает. PFA подразумевает любые два-плотные подмножества R изоморфны, [1] любые два дерева Ароншайна клубно -изоморфны, [2] и каждый автоморфизм булевой алгебры / fin тривиально. [3] PFA означает, что гипотеза сингулярных кардиналов верна. Особенно примечательным следствием, доказанным Джоном Р. Стилом, является то, что аксиома детерминированности выполняется в L (R) , наименьшей внутренней модели, содержащей действительные числа. Другое последствие - отказ от квадратного принципа и, следовательно, существование внутренних моделей со многими кардиналами Вудена .
Прочность консистенции
Если есть суперкомпактный кардинал , то существует модель теории множеств, в которой выполняется PFA. Доказательство использует тот факт, что правильные форсировки сохраняются при счетной итерации поддержки, и тот факт, что еслисуперкомпактно, то существует функция Лавера для.
Пока неизвестно, насколько большая кардинальная сила исходит от PFA.
Другие аксиомы принуждения
Ограниченно собственно заставляя аксиомой (ППД) является более слабым вариантом PFA , который вместо произвольных плотных подмножеств относится только к максимальным антицепям размера & omega 1 . Максимум Мартина - это самая сильная версия аксиомы принуждения.
Аксиомы принуждения - жизнеспособные кандидаты на расширение аксиом теории множеств в качестве альтернативы аксиомам с большой кардинальностью .
Основная теорема о правильном форсировании
Фундаментальная теорема о правильном принуждении, разработанная Шелахом , утверждает, что любая счетная поддерживающая итерация правильного принуждения сама по себе является правильной. Это следует из леммы о собственной итерации, которая утверждает, что всякий раз это счетная поддержка, вынуждающая итерацию, основанную на а также является счетной элементарной подструктурой для достаточно большого регулярного кардинала , а также а также а также является -общие и силы ", "тогда существует такой, что является -общие и ограничение к равно а также вынуждает ограничить к быть сильнее или равным .
Эта версия леммы о правильной итерации, в которой имя не предполагается, что находится в , принадлежит Шлиндвайну. [4]
Лемма о правильной итерации доказывается довольно простой индукцией по , а основная теорема о правильном форсировании следует, взяв .
Смотрите также
Рекомендации
- Jech, Томас (2002). Теория множеств (Третье тысячелетие (переработанное и дополненное) изд.). Springer. DOI : 10.1007 / 3-540-44761-X . ISBN 3-540-44085-2. Zbl 1007.03002 .
- Кунен, Кеннет (2011). Теория множеств . Исследования по логике. 34 . Лондон: Публикации колледжа. ISBN 978-1-84890-050-9. Zbl 1262.03001 .
- Мур, Джастин Тэтч (2011). «Логика и основы: аксиома правильного принуждения». В Бхатии, Раджендра (ред.). Материалы международного конгресса математиков (ICM 2010), Хайдарабад, Индия, 19–27 августа 2010 г. Vol. II: Приглашенные лекции (PDF) . Хакенсак, штат Нью-Джерси: World Scientific. С. 3–29. ISBN 978-981-4324-30-4. Zbl 1258.03075 .
- Сталь, Джон Р. (2005). «PFA подразумевает AD ^ L (R)». Журнал символической логики . 70 (4): 1255–1296. DOI : 10.2178 / JSL / 1129642125 .