Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории множеств , дерево Ароншайн несчетного дерево , без бесчисленных ветвей и не бесчисленных уровней. Например, каждое дерево Суслина - это дерево Ароншайна. В более общем смысле, для кардинального κ , κ- дерево Ароншайна - это дерево мощности κ, в котором все уровни имеют размер меньше κ, а все ветви имеют высоту меньше κ (так что деревья Ароншайна такие же, как деревья -Ароншайн). Они названы в честь Нахмана Ароншайна , который построил дерево Ароншайн в 1934 году; его конструкция была описана Курепой (1935) .

Кардинал κ, для которого не существует κ- деревьев Арроншайна, называется обладающим свойством дерева (иногда включается условие, что κ является регулярным и несчетным).

Существование деревьев κ-Ароншайн [ править ]

Лемма Кёнига утверждает, что -Ароншайн-деревьев не существует.

Существование деревьев Ароншайна ( -Ароншайн) было доказано Нахманом Ароншайном , и из него следует, что аналог леммы Кёнига не выполняется для несчетных деревьев.

Существование деревьев -Ароншайнов неразрешимо ( с учетом некоторой аксиомы большого кардинала): точнее, гипотеза континуума подразумевает существование дерева -Ароншайна, а Митчелл и Сильвер показали, что оно непротиворечиво (относительно существования слабо компактного кардинал ), что деревьев -Ароншайн не существует.

Jensen доказал , что V = L следует , что существует κ -Aronszajn дерево (на самом деле κ - Суслин дерево ) для каждого бесконечного кардинального правопреемником  х .

Каммингс и Форман (1998) показали (используя большую кардинальную аксиому), что согласованно, что никакие -Ароншайн-деревья не существуют для любого конечного n, кроме 1.

Если κ слабо компактно, то κ- деревьев Ароншайна не существует. Наоборот, если κ недоступно и не существует κ- деревьев Ароншайна, то κ слабо компактно.

Особые деревья Ароншайна [ править ]

Дерево Ароншайна называется особым, если существует функция f из дерева в рациональные числа, так что f ( x ) <  f ( y ) всякий раз, когда x  <  y . Из аксиомы Мартина MA ( ) следует, что все деревья Ароншайна особенные. Более сильная аксиома собственного принуждения подразумевает более сильное утверждение, что для любых двух деревьев Ароншайна существует клубное множество уровней, такое что ограничения деревьев на этот набор уровней изоморфны, что говорит о том, что в некотором смысле любые два дерева Ароншайна по существу изоморфны ( Авраам и Шела, 1985 г.). С другой стороны, существование неспециальных деревьев Ароншайна согласуется с гипотезой обобщенного континуума плюс гипотезой Суслина ( Schlindwein, 1994 ).

Построение особого дерева Ароншайна [ править ]

Специальное дерево Ароншайна можно построить следующим образом.

Элементы дерева - это некоторые упорядоченные наборы рациональных чисел с рациональной супремумом или −∞. Если x и y - два из этих наборов, то мы определяем x  ≤  y (в древовидном порядке), что означает, что x является начальным сегментом упорядоченного набора  y . Для каждого счетного ординала α мы пишем U α для элементов дерева уровня α, так что элементы U α являются некоторыми наборами рациональных чисел с порядковым типом α. Специальное дерево Ароншайна T - это объединение множеств U α для всех счетных α.

Счетные уровни U α построим трансфинитной индукцией по α следующим образом, начиная с пустого множества как U 0 :

  • Если α  + 1 является последователем, то U α +1 состоит из всех расширений последовательности x в U α рациональным числом, большим sup x . U α  + 1 счетно, поскольку состоит из счетного числа расширений каждого из счетного числа элементов в U α .
  • Если α предел, то пусть T α дерево всех точек уровня меньше α . Для каждого x в T α и для каждого рационального числа q, большего sup x , выберите ветвь уровня α T α, содержащую x с супремумом q . Тогда U α состоит из этих ветвей. U α счетно, поскольку состоит из счетного числа ветвей для каждого из счетного числа элементов в T α .

Функция f ( x ) = sup  x рациональна или −∞ и обладает тем свойством, что если x  <  y, то f ( x ) <  f ( y ). Любая ветвь в T счетна, поскольку f инъективно отображает ветви в −∞ и рациональные числа. T несчетный, так как он имеет непустой уровень U α для каждого счетного ординала α, составляющего первый несчетный ординал . Это доказывает, что T - особое дерево Ароншайна.

Эту конструкцию можно использовать для построения κ- деревьев Ароншайна, когда κ является преемником регулярного кардинала и выполняется гипотеза обобщенного континуума, путем замены рациональных чисел более общим η- множеством .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Авраам, Ури; Сала, Saharon (1985), "Типы изоморфизмов Ароншайны дерева", Израиль Журнал математики , 50 : 75-113, DOI : 10.1007 / BF02761119
  • Каммингс, Джеймс; Форман, Мэтью (1998), "Свойство дерева", Adv. Математика. , 133 (1): 1-32, DOI : 10,1006 / aima.1997.1680 , МР  1492784
  • Кунен, Кеннет (2011), теория множеств , Исследования в области логики, 34 , Лондон: публикации колледжа, ISBN 978-1-84890-050-9, Zbl  1262,03001
  • Курепа, Г. (1935), "Ensembles ordonnés et ramifiés" , Publ. математика. Univ. Белград , 4 : 1-138, JFM  61.0980.01 , Zbl  0014,39401
  • Шлиндвайн, Чаз (1994), «Непротиворечивость гипотезы Суслина, неспециальное дерево Ароншайна и GCH», Журнал символической логики , Журнал символической логики, Vol. 59, № 1, 59 (1): 1-29, DOI : 10,2307 / 2275246 , JSTOR  2275246
  • Schlindwein, Ch. (2001) [1994], "Дерево Ароншайна" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Тодорчевич, С. (1984), «Деревья и линейно упорядоченные множества», Справочник по теоретико-множественной топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 235–293, MR  0776625

Внешние ссылки [ править ]

  • ПланетаМатематика