Теорема Шура

---

В дискретной математике теорема Шура — это любая из нескольких теорем математика Иссая Шура . В дифференциальной геометрии теорема Шура является теоремой Акселя Шура . В функциональном анализе теорему Шура часто называют свойством Шура , также благодаря Иссаю Шуру.

В теории Рамсея теорема Шура утверждает , что для любого разбиения натуральных чисел на конечное число частей одна из частей содержит три целых числа x , y , z с

Для каждого положительного целого числа c S ( c ) обозначает наименьшее число S такое, что для каждого разделения целых чисел на c частей одна из частей содержит целые числа x , y и z с . Теорема Шура гарантирует, что S ( c ) корректно определено для каждого положительного целого числа c . Числа вида S ( c ) называются числами Шура .${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, S (с) \}}$${\ Displaystyle х + у = г}$

Теорема Фолкмана обобщает теорему Шура, утверждая, что существуют произвольно большие множества целых чисел, все непустые суммы которых принадлежат одной и той же части.

Используя это определение, первые несколько чисел Шура равны S (1) = 2 , 5, 14, 45, 161, ... ( OEIS :  A030126 ). Доказательство того , что S (5) = 161 , было объявлено в 2017 году и заняло 2 петабайты пространства. ^{[1] [2]}

В комбинаторике теорема Шура говорит о количестве способов выражения данного числа в виде (неотрицательной, целочисленной) линейной комбинации фиксированного набора относительно простых чисел. В частности, если это набор целых чисел, таких что , количество различных наборов неотрицательных целых чисел , таких, что когда он уходит в бесконечность, равно:${\ Displaystyle \ {а_ {1}, \ ldots, а_ {п} \}}$${\ Displaystyle \ gcd (а_ {1}, \ ldots, а_ {п}) = 1}$${\ Displaystyle (с_ {1}, \ ldots, с_ {п})}$${\ displaystyle x = c_ {1} a_ {1} + \ cdots + c_ {n} a_ {n}}$${\ Displaystyle х}$

---