В математике , А линейный оператор Т на векторном пространстве является полупростом , если каждому Т - инвариантное подпространство имеет комплементарный Т инвариантное подпространство; [1] Другими словами, векторное пространство является полупрост представление оператора Т . Эквивалентно, линейный оператор является полупростым, если его минимальный многочлен является произведением различных неприводимых многочленов. [2]
Линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем является полупростым тогда и только тогда, когда он диагонализуем . [1] [3]
Над совершенным полем разложение Жордана – Шевалле выражает эндоморфизм как сумму полупростого эндоморфизма s и нильпотентного эндоморфизма n таких, что и s, и n являются многочленами от x .
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ а б Лам (2001), стр. 39
- ^ Jacobson 1979 , абзац перед гл. II, § 5, теорема 11.
- ^ Это тривиально по определению в терминах минимального многочлена, но более прямо можно увидеть следующим образом. У такого оператора всегда есть собственный вектор; если он, кроме того, полупростой, то он имеет дополнительную инвариантную гиперплоскость , которая сама имеет собственный вектор и, таким образом, по индукции диагонализуема. И наоборот, легко увидеть, что диагонализуемые операторы полупросты, поскольку инвариантные подпространства представляют собой прямые суммы собственных подпространств, и любой базис этого пространства может быть расширен до собственного базиса.
Ссылки [ править ]
- Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .
- Джейкобсон, Натан , алгебры Ли , переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Выпускные тексты по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
 | Эта статья по математике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |
