В пространственной статистике теоретическая вариограмма - функция, описывающая степень пространственной зависимости пространственного случайного поля или случайного процесса . вариограмма составляет половину вариограммы.
В случае конкретного примера из области добычи золота вариограмма даст меру того, насколько две пробы, взятые из области добычи, будут различаться в процентном содержании золота в зависимости от расстояния между этими пробами. Образцы, взятые на большом расстоянии друг от друга, будут отличаться больше, чем образцы, взятые близко друг к другу.
Определение
вариограмма был впервые определен Матероном (1963) как половина среднего квадрата разницы между значениями в точках ( а также ) разделены на расстоянии . [1] [2] Формально
где точка в геометрическом поле , а также это значение в этой точке. Тройной интеграл имеет более трех измерений.представляет собой интересующее расстояние разноса (например, в метрах или км). Например, значение может представлять содержание железа в почве в каком-то месте (с географическими координатами широты, долготы и высоты) над некоторым регионом с элементом объема . Чтобы получить вариограмму для заданного, будут выбраны все пары точек на этом точном расстоянии. На практике невозможно отобрать пробу везде, поэтому вместо нее используется эмпирическая вариограмма .
Вариограмма в два раза больше вариограммы и может быть определена, эквивалентно, как дисперсия разницы между значениями полей в двух точках ( а также , обратите внимание на изменение обозначений с к а также к ) через реализации поля (Cressie 1993):
Если пространственное случайное поле имеет постоянное среднее значение , это эквивалентно ожидаемому квадрату приращения значений между местоположениями а также (Wackernagel 2003) (где а также точки в пространстве и, возможно, во времени):
В случае стационарного процесса вариограмму и вариограмму можно представить как функцию разницы только между локациями, согласно следующему соотношению (Cressie 1993):
Если процесс, кроме того, изотропный , то вариограмма и вариограмма могут быть представлены функцией расстояния только (Cressie 1993):
Индексы или же обычно не пишутся. Эти термины используются для всех трех форм функции. Кроме того, термин «вариограмма» иногда используется для обозначения вариограммы, а символиногда используется для вариограммы, что вносит некоторую путаницу. [3]
Характеристики
Согласно (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003) теоретическая вариограмма имеет следующие свойства:
- Вариограмма неотрицательна , так как это ожидание квадрата.
- Вариограмма на расстоянии 0 всегда 0, так как .
- Функция является вариограммой тогда и только тогда, когда она является условно отрицательно определенной функцией, т.е. для всех весов при условии и локации он содержит:
- что соответствует тому, что дисперсия из дается отрицанием этой двойной суммы и должен быть неотрицательным. [ оспаривается ]
- Если ковариационная функция стационарного процесса существует, она связана с вариограммой соотношением
- Если стационарное случайное поле не имеет пространственной зависимости (т.е. если ) вариограмма - это постоянная везде, кроме начала координат, где он равен нулю.
- является симметричной функцией.
- Вследствие этого, является четной функцией .
- Если случайное поле стационарно и эргодично ,соответствует дисперсии поля. Граница вариограммы также называется ее порогом .
- Как следствие, вариограмма может быть прерывистой только в начале координат. Высота прыжка в исходной точке иногда называется эффектом самородка или самородка.
Параметры
Таким образом, для описания вариограмм часто используются следующие параметры:
- самородок : Высота скачка вариограммы на разрыве в начале координат.
- подоконник : Предел вариограммы, стремящийся к бесконечному расстоянию запаздывания.
- диапазон : Расстояние, на котором разница между вариограммой и порогом становится незначительной. В моделях с фиксированным порогом это расстояние, на котором он достигается в первую очередь; для моделей с асимптотическим порогом обычно принимается расстояние, когда полувариантность впервые достигает 95% порога.
Эмпирическая вариограмма
Эмпирическая вариограмма используется в геостатистике в качестве первой оценки модели вариограмм , необходимой для пространственной интерполяции кригинге . Согласно (Cressie 1993), для наблюденийиз стационарного случайного поля , эмпирическая вариограмма с допуском запаздывания 0 является несмещенной оценкой теоретической вариограммы из-за:
Эмпирическая вариограмма (половина эмпирической вариограммы), оцененная на заданном расстоянии, называется полувариантностью ; и наоборот, график вариограмм в зависимости от расстояний известен как вариограмма.
Как правило, необходима эмпирическая вариограмма, поскольку информация о выборке доступен не для всех мест. Информация об образце, например, может быть концентрацией железа в образцах почвы или интенсивностью пикселей на камере. Каждый фрагмент информации об образце имеет координаты. для двумерного образца пространства, где а также являются географическими координатами. В случае железа в почве пространство для образца может быть трехмерным. Если есть и временная изменчивость (например, содержание фосфора в озере), то может быть 4-х мерным вектором . Для случая, когда размеры имеют разные единицы (например, расстояние и время), тогда коэффициент масштабированияможет применяться к каждому, чтобы получить модифицированное евклидово расстояние. [4]
Обозначены образцы наблюдений. . Образцы могут быть взяты ввсего разные локации. Это предоставит как набор образцов в местах . Как правило, графики показывают значения вариограммы как функцию разделения точек выборки.. В случае эмпирической вариограммы интервалы разделительных расстояний используются, а не точные расстояния, и обычно предполагаются изотропные условия (т. е. что это только функция и не зависит от других переменных, таких как центральное положение). Тогда эмпирическая вариограмма можно рассчитать для каждого бункера:
Или, другими словами, каждая пара точек, разделенных символом (плюс или минус некоторый диапазон допуска ширины бункера ) найдены. Они образуют набор точек. Количество этих точек в этой корзине равно. Тогда для каждой пары точек, квадрат разницы в наблюдении (например, содержание образца почвы или интенсивность пикселей) находится (). Эти квадраты разностей складываются и нормализуются натуральным числом.. По определению результат делится на 2 для вариограммы на этом разделении.
Для скорости вычислений нужны только уникальные пары точек. Например, для 2 пар наблюдений [] взяты из локаций с разделением Только [] необходимо рассматривать, поскольку пары [] не предоставляют никакой дополнительной информации.
Модели вариограмм
Эмпирическая вариограмма не может быть рассчитана на каждом расстоянии запаздывания. и из-за различий в оценке не гарантируется, что это действительная вариограмма, как определено выше. Однако для некоторых геостатистических методов, таких как кригинг, требуются действительные вариограммы. Таким образом, в прикладной геостатистике эмпирические вариограммы часто аппроксимируются функцией модели, обеспечивающей достоверность (Chiles & Delfiner 1999). Вот некоторые важные модели (Chiles & Delfiner 1999, Cressie 1993):
- Модель экспоненциальной вариограммы
- Модель сферической вариограммы
- Модель гауссовой вариограммы
Параметр имеет разные значения в разных справочниках из-за неоднозначности определения диапазона. Например- это значение, используемое в (Chiles & Delfiner 1999). В функция равна 1, если и 0 в противном случае.
Обсуждение
В геостатистике используются три функции для описания пространственной или временной корреляции наблюдений: это коррелограмма , ковариация и вариограмма . Последний также проще называют вариограммой . Вариограмма выборки , в отличии от вариограммы и вариограммы, показывает , где значительная степень пространственной зависимости в выборочном пространстве или выборках единиц рассеиваются в случайность , когда дисперсия точка зрения во время или на место упорядоченного множество приведена в зависимости от дисперсии множества и нижние пределы его доверительных интервалов 99% и 95%.
Вариограмма - ключевая функция в геостатистике, поскольку она будет использоваться для соответствия модели временной / пространственной корреляции наблюдаемого явления. Таким образом, проводится различие между экспериментальной вариограммой, которая представляет собой визуализацию возможной пространственной / временной корреляции, и моделью вариограммы, которая в дальнейшем используется для определения весов функции кригинга . Обратите внимание , что экспериментальный вариограмма является эмпирической оценкой ковариации в виде процесса гауссовой . Таким образом, он не может быть положительно определенным и, следовательно, не может быть напрямую использован в кригинге без ограничений или дальнейшей обработки. Это объясняет, почему используется только ограниченное количество моделей вариограмм: чаще всего линейная, сферическая, гауссова и экспоненциальная модели.
Приложения
- Эмпирические вариограммы пространственно-временной изменчивости усредненного по столбцу углекислого газа использовались для определения критериев совпадения для спутниковых и наземных измерений. [4]
- Эмпирические вариограммы рассчитывались для плотности неоднородного материала (гильсокарбон). [5]
- Эмпирические вариограммы рассчитываются на основе наблюдений за сильными колебаниями грунта в результате землетрясений . [6] Эти модели используются для оценки сейсмического риска и потерь пространственно-распределенной инфраструктуры. [7]
Связанные понятия
Квадрат в вариограмме, например , могут быть заменены разными степенями: Мадограмма определяется с абсолютной разницей ,, а родограмма определяется как квадратный корень из абсолютной разности,. Оценщики, основанные на этих более низких степенях, считаются более устойчивыми к выбросам . Их можно обобщить как «вариограмму порядка α »,
- ,
в котором вариограмма 2-го порядка, мадограмма - вариограмма 1-го порядка, а родограмма - вариограмма 0,5-го порядка. [8]
Когда вариограмма используется для описания корреляции различных переменных, она называется кросс-вариограммой . В ко-кригинге используются кросс-вариограммы . Если переменная является двоичной или представляет классы значений, тогда речь идет о индикаторных вариограммах . Индикаторная вариограмма используется в индикаторном кригинге .
Рекомендации
- ^ Matheron, Джордж (1963). «Принципы геостатистики». Экономическая геология . 58 (8): 1246–1266. DOI : 10.2113 / gsecongeo.58.8.1246 . ISSN 1554-0774 .
- ^ Форд, Дэвид. «Эмпирическая вариограмма» (PDF) . faculty.washington.edu/edford . Проверено 31 октября 2017 года .
- ^ Бахмайер, Мартин; Бэкес, Матиас (24 февраля 2008 г.). «Вариограмма или вариограмма? Различия в вариограмме». Точное земледелие . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 9 (3): 173–175. DOI : 10.1007 / s11119-008-9056-2 . ISSN 1385-2256 .
- ^ а б Nguyen, H .; Остерман, G .; Wunch, D .; О'Делл, С .; Mandrake, L .; Wennberg, P .; Фишер, Б .; Кастано, Р. (2014). «Метод сопоставления спутниковых данных X CO 2 с наземными данными и его применение в ACOS-GOSAT и TCCON» . Методы атмосферных измерений . 7 (8): 2631–2644. Bibcode : 2014AMT ..... 7.2631N . DOI : 10,5194 / АМТ-7-2631-2014 . ISSN 1867-8548 .
- ^ Arregui Mena, JD; и другие. (2018). «Характеристика пространственной изменчивости свойств материалов Gilsocarbon и NBG-18 с использованием случайных полей» . Журнал ядерных материалов . 511 : 91–108. Bibcode : 2018JNuM..511 ... 91А . DOI : 10.1016 / j.jnucmat.2018.09.008 .
- ^ Скьяппапьетра, Эрика; Дуглас, Джон (апрель 2020 г.). «Моделирование пространственной корреляции движения грунта при землетрясении: выводы из литературы, данные последовательности землетрясений в Центральной Италии в 2016–2017 годах и моделирование движения грунта» . Обзоры наук о Земле . 203 : 103139. Bibcode : 2020ESRv..20303139S . DOI : 10.1016 / j.earscirev.2020.103139 .
- ^ Соколов Владимир; Венцель, Фридеманн (25 июля 2011 г.). «Влияние пространственной корреляции сильных колебаний грунта на неопределенность оценки потерь от землетрясений». Землетрясение и структурная динамика . 40 (9): 993–1009. DOI : 10.1002 / eqe.1074 .
- ^ Олеа, Рикардо А. (1991). Геостатистический глоссарий и многоязычный словарь . Издательство Оксфордского университета. стр. 47, 67, 81. ISBN 9780195066890.
дальнейшее чтение
- Кресси, Н., 1993, Статистика пространственных данных, Wiley Interscience.
- Чили, JP, П. Делфинер, 1999, Геостатистика, Моделирование пространственной неопределенности, Wiley-Interscience
- Вакернагель, Х., 2003 г., Многомерная геостатистика, Springer
- Берроу, штат Пенсильвания, и Макдоннелл, Р.А., 1998 г., Принципы географических информационных систем.
- Изобель Кларк, 1979 г., «Практическая геостатистика», издательство «Прикладная наука».
- Кларк, I, 1979 г., « Практическая геостатистика» , издательство «Прикладная наука».
- Дэвид М., 1978, Геостатистическая оценка запасов руды , Elsevier Publishing
- Халд, А., 1952, Статистическая теория с инженерными приложениями , John Wiley & Sons, Нью-Йорк.
- Journel, AG и Huijbregts, Ch J, 1978 Mining Geostatistics , Academic Press
Внешние ссылки
- AI-GEOSTATS: образовательный ресурс по геостатистике и пространственной статистике
- Геостатистика: лекция Рудольфа Даттера в Венском техническом университете