Полиномы Шапиро

В математике полиномы Шапиро - это последовательность полиномов, которые впервые были изучены Гарольдом С. Шапиро в 1951 году при рассмотрении величины конкретных тригонометрических сумм . ^[1] При обработке сигналов полиномы Шапиро обладают хорошими автокорреляционными свойствами, а их значения на единичной окружности малы. ^[2] Первые несколько членов последовательности:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+x-x^{2}+x^{3}\\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\\...\\\end{aligned}}}$

где вторая последовательность, обозначается Q , называется комплементарной к первой последовательности, обозначено P .

Строительство

Многочлены Шапиро P _n ( z ) могут быть построены из последовательности Голея – Рудина – Шапиро a _n , которая равна 1, если количество пар последовательных единиц в двоичном разложении n четно, и −1 в противном случае. Таким образом, a ₀  = 1, a ₁  = 1, a ₂  = 1, a ₃  = −1 и т. Д.

Первый Шапиро P _n ( z ) является частичной суммой порядка 2 ⁿ  - 1 (где n  = 0, 1, 2, ...) степенного ряда

f ( z ): = a ₀ + a ₁  z + a ₂  z ² + ...

Последовательность Голея – Рудина – Шапиро { a _n } имеет фрактальную структуру - например, a _n  =  a _{2 n} - что означает, что подпоследовательность ( a ₀ ,  a ₂ ,  a ₄ , ...) повторяет исходную последовательность { a _n }. Это, в свою очередь, приводит к замечательным функциональным уравнениям, которым удовлетворяет f ( z ).

Второй или дополнительный многочлен Шапиро Q _n ( z ) может быть определен в терминах этой последовательности или соотношением Q _n ( z ) = (1-) ⁿ z ^{2 n -1} P _n (-1 / z ), или рекурсиями

${\displaystyle P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;}$

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z);}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z).}$

Характеристики

Нули многочлена степени 255

Последовательность дополнительных многочленов Q _n, соответствующая P _n , однозначно характеризуется следующими свойствами:

• (i) Q _n имеет степень 2 ⁿ - 1;
• (ii) все коэффициенты Q _n равны 1 или -1, а его постоянный член равен 1; а также
• (iii) тождество | P _n ( z ) | ² + | Q _n ( z ) | ² = 2 ^{( n  + 1)} выполняется на единичной окружности, где комплексная переменная z имеет абсолютное значение единица.

Наиболее интересным свойством { Р _п } является то , что абсолютное значение Р _п ( г ) ограничена на единичной окружности на квадратный корень из 2 ^{( п  + 1)} , который находится на порядка L ² нормы в P _n . Полиномы с коэффициентами из набора {-1, 1}, максимальный модуль которых на единичной окружности близок к их среднему модулю, полезны для различных приложений в теории связи (например, конструкция антенны и сжатие данных ). Свойство (iii) показывает, что ( P ,  Q ) образуют пару Голея .

У этих многочленов есть и другие свойства: ^[3]

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};\,}$

${\displaystyle P_{n+k+1}(z)=P_{n}(z)P_{k}(z^{2^{n+1}})+z^{2^{n}}Q_{n}(z)P_{k}(-z^{2^{n+1}});\,}$

${\displaystyle P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^{n})2^{\lfloor n/2\rfloor -1}.\,}$

Смотрите также

• Полиномы Литтлвуда

Примечания

использованная литература

• Борвейн, Питер Б. (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел . Springer. ISBN 978-0-387-95444-8. Проверено 30 марта 2007 . Глава 4.
• Мендес Франция, Мишель (1990). «Последовательность Рудина-Шапиро, цепь Изинга и раскладывание бумаги». У Берндта, Брюса К .; Даймонд, Гарольд Дж .; Хальберштам, Хейни ; и другие. (ред.). Аналитическая теория чисел. Материалы конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 г. в Университете Иллинойса, Урбана, Иллинойс (США) . Успехи в математике. 85 . Бостон: Биркхойзер. С. 367–390. ISBN 978-0-8176-3481-0. Zbl  0724.11010 .