Формат с плавающей запятой одинарной точности

Формат с плавающей запятой одинарной точности (иногда называемый FP32 или float32 ) - это формат компьютерных чисел , обычно занимающий 32 бита в компьютерной памяти ; он представляет широкий динамический диапазон числовых значений с использованием точки с плавающей запятой .

Переменная с плавающей запятой может представлять более широкий диапазон чисел, чем переменная с фиксированной запятой той же разрядности за счет точности. Подписано 32-битное целое число , переменная имеет максимальное значение , равное 2 ³¹ - 1 = 2147483647, в то время как 754 стандарта IEEE 32-битная база-2 переменная с плавающей точкой имеет максимальное значение (2 - 2 ^-23 ) × 2 ¹²⁷ ≈ 3.4028235 × 10 ³⁸ . Все целые числа с 7 или менее десятичными знаками и любые 2 ⁿ для целого числа −149 ≤ n ≤ 127 могут быть точно преобразованы в значение с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754.

В IEEE 754-2008 стандарт , формат 32-битная база-2 официально называется binary32 ; в IEEE 754-1985 он назывался синглом . IEEE 754 определяет дополнительные типы с плавающей запятой, такие как 64-битные представления с двойной точностью по основанию 2 и, в последнее время, представления с основанием 10.

Одним из первых языков программирования, предоставивших типы данных с плавающей запятой одинарной и двойной точности, был Фортран . До широкого распространения IEEE 754-1985 представление и свойства типов данных с плавающей запятой зависели от производителя компьютера и модели компьютера, а также от решений, принимаемых разработчиками языков программирования. Например, тип данных одинарной точности GW-BASIC был 32-битным форматом с плавающей запятой MBF .

Одинарная точность называется REAL в Фортране , ^[1] SINGLE-FLOAT в Common Lisp , ^[2] float в C , C ++ , C # , Java , ^[3] Float в Haskell , ^[4] и Single в Object Pascal ( Delphi ), Visual Basic и MATLAB . Однако float в Python , Ruby , PHP и OCamlи single в версиях Octave до 3.2 относятся к числам с двойной точностью . В большинстве реализаций PostScript и некоторых встроенных системах единственная поддерживаемая точность - одинарная.

Двоичный формат с плавающей запятой одинарной точности IEEE 754: binary32 [ править ]

Стандарт IEEE 754 определяет binary32 как имеющий:

• Знаковый бит : 1 бит
• Ширина экспоненты : 8 бит
• Существенная точность : 24 бита (23 сохранены явно)

Это дает точность от 6 до 9 десятичных знаков . Если десятичная строка с не более чем 6 значащими цифрами преобразована в представление с одинарной точностью IEEE 754, а затем преобразована обратно в десятичную строку с тем же количеством цифр, окончательный результат должен соответствовать исходной строке. Если число с одинарной точностью IEEE 754 преобразовано в десятичную строку, содержащую не менее 9 значащих цифр, а затем преобразовано обратно в представление с одинарной точностью, окончательный результат должен соответствовать исходному числу. ^[5]

Бит знака определяет знак числа, который также является знаком мантиссы. Показатель степени представляет собой 8-битовое целое число без знака от 0 до 255 в смещенной форме : значение степени 127 представляет фактический ноль. Показатели варьируются от -126 до +127, потому что показатели -127 (все нули) и +128 (все единицы) зарезервированы для специальных чисел.

Истинное значение включает 23 дробных бита справа от двоичной точки и неявный ведущий бит (слева от двоичной точки) со значением 1, если показатель степени не сохранен со всеми нулями. Таким образом , только 23 фракций бит мантисс появляются в формате память, но общая точность 24 бита (эквивалент для входа ₁₀ (2 ²⁴ ) ≈ 7.225 десятичных цифр). Биты расположены следующим образом:

Действительное значение, принимаемое заданными 32-битными данными binary32 с заданным знаком , смещенной экспонентой e (8-битовое целое число без знака) и 23-битной дробью, равно

${\ displaystyle (-1) ^ {b_ {31}} \ times 2 ^ {(b_ {30} b_ {29} \ dots b_ {23}) _ {2} -127} \ times (1.b_ {22 } b_ {21} \ dots b_ {0}) _ {2}}$,

что дает

${\ displaystyle {\ text {value}} = (- 1) ^ {\ text {sign}} \ times 2 ^ {(E-127)} \ times \ left (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {23} b_ {23-i} 2 ^ {- i} \ right).}$

В этом примере:

• ${\ displaystyle {\ text {sign}} = b_ {31} = 0}$,
• ${\ Displaystyle (-1) ^ {\ текст {знак}} = (- 1) ^ {0} = + 1 \ in \ {- 1, + 1 \}}$,
• ${\ displaystyle E = b_ {30} b_ {29} \ dots b_ {23} = \ sum _ {i = 0} ^ {7} b_ {23 + i} 2 ^ {+ i} = 124 \ in \ { 1, \ ldots, (2 ^ {8} -1) -1 \} = \ {1, \ ldots, 254 \}}$,
• ${\ displaystyle 2 ^ {(E-127)} = 2 ^ {124-127} = 2 ^ {- 3} \ in \ {2 ^ {- 126}, \ ldots, 2 ^ {127} \}}$,
• ${\ displaystyle 1.b_ {22} b_ {21} ... b_ {0} = 1 + \ sum _ {i = 1} ^ {23} b_ {23-i} 2 ^ {- i} = 1 + 1 \ cdot 2 ^ {- 2} = 1,25 \ дюйм \ {1,1 + 2 ^ {- 23}, \ ldots, 2-2 ^ {- 23} \} \ subset [1; 2-2 ^ {- 23}] \ subset [1; 2)}$.

таким образом:

• ${\displaystyle {\text{value}}=(+1)\times 2^{-3}\times 1.25=+0.15625}$.

Примечание:

• ${\displaystyle 1+2^{-23}\approx 1.000\,000\,119}$,
• ${\displaystyle 2-2^{-23}\approx 1.999\,999\,881}$,
• ${\displaystyle 2^{-126}\approx 1.175\,494\,35\times 10^{-38}}$,
• ${\displaystyle 2^{+127}\approx 1.701\,411\,83\times 10^{+38}}$.

Экспонентное кодирование [ править ]

Двоичная экспонента с плавающей запятой одинарной точности кодируется с использованием двоичного представления смещения с нулевым смещением 127; также известный как смещение экспоненты в стандарте IEEE 754.

• E _мин = 01 _H −7F _H = −126
• E _макс = FE _H −7F _H = 127
• Смещение экспоненты = 7F _H = 127

Таким образом, чтобы получить истинную экспоненту, как определено двоичным представлением смещения, смещение 127 должно быть вычтено из сохраненной экспоненты.

Сохраненные экспоненты 00 _H и FF _H интерпретируются особым образом.

Экспонента	фракция = 0	дробь ≠ 0	Уравнение
00 часов	нуль	субнормальное число	${\displaystyle (-1)^{sign}\times 2^{-126}\times 0.fraction}$
01 H , ..., FE H	нормальное значение		${\displaystyle (-1)^{sign}\times 2^{exponent-127}\times 1.fraction}$
FF H	± бесконечность	NaN (тихо, сигнализирует)

Минимальное положительное нормальное значение равно, а минимальное положительное (субнормальное) значение .${\displaystyle 2^{-126}\approx 1.18\times 10^{-38}}$${\displaystyle 2^{-149}\approx 1.4\times 10^{-45}}$

Преобразование из десятичного представления в формат binary32 [ править ]

Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, примеры представляют собой простые частные случаи (простые значения, точно представимые в двоичном формате, без экспонентной части). Этот раздел также, вероятно, не по теме: это статья не о преобразовании, а преобразование из десятичного числа с использованием десятичной арифметики (в отличие от преобразования из символьной строки) встречается редко. Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В общем, обратитесь к самому стандарту IEEE 754 для строгого преобразования (включая поведение округления) действительного числа в его эквивалентный формат binary32.

Здесь мы можем показать, как преобразовать действительное число с основанием 10 в двоичный 32-формат IEEE 754, используя следующую схему:

• Рассмотрим действительное число с целой и дробной частью, например 12,375.
• Преобразование и нормализация целой части в двоичную
• Преобразуйте дробную часть, используя следующую технику, как показано здесь.
• Добавьте два результата и настройте их, чтобы получить правильное окончательное преобразование.

Преобразование дробной части: Рассмотрим 0,375, дробную часть 12,375. Чтобы преобразовать его в двоичную дробь, умножьте дробь на 2, возьмите целую часть и повторите с новой дробью на 2, пока не будет найдена дробная часть нуля или пока не будет достигнут предел точности, который составляет 23 цифры дробной части для формата IEEE 754 binary32 .

${\displaystyle 0.375\times 2=0.750=0+0.750\Rightarrow b_{-1}=0}$, целая часть представляет собой двоичную дробную цифру. Чтобы продолжить, умножьте 0,750 на 2.

${\displaystyle 0.750\times 2=1.500=1+0.500\Rightarrow b_{-2}=1}$

${\displaystyle 0.500\times 2=1.000=1+0.000\Rightarrow b_{-3}=1}$, дробь = 0,000, закончить

Мы видим, что это может быть точно представлено в двоичном виде как . Не все десятичные дроби могут быть представлены в виде конечной двоичной дроби. Например, десятичное число 0,1 не может быть точно представлено в двоичном формате, оно может быть только приближенным. Следовательно:${\displaystyle (0.375)_{10}}$${\displaystyle (0.011)_{2}}$

${\displaystyle (12.375)_{10}=(12)_{10}+(0.375)_{10}=(1100)_{2}+(0.011)_{2}=(1100.011)_{2}}$

Поскольку формат IEEE 754 binary32 требует, чтобы реальные значения были представлены в формате (см. Нормализованное число , Денормализованное число ), 1100.011 сдвигается вправо на 3 цифры, чтобы стать${\displaystyle (1.x_{1}x_{2}...x_{23})_{2}\times 2^{e}}$${\displaystyle (1.100011)_{2}\times 2^{3}}$

Наконец, мы видим, что: ${\displaystyle (12.375)_{10}=(1.100011)_{2}\times 2^{3}}$

Из чего мы делаем вывод:

• Показатель степени равен 3 (и, следовательно, в смещенной форме )${\displaystyle 130=1000\ 0010}$
• Дробь равна 100011 (если смотреть справа от двоичной точки)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата binary32 IEEE 754 для 12,375:

${\displaystyle (12.375)_{10}=(0\ 10000010\ 10001100000000000000000)_{2}=(41460000)_{16}}$

Примечание: подумайте о преобразовании 68,123 в двоичный 32-формат IEEE 754: используя описанную выше процедуру, вы ожидаете получить с последними 4 битами, равными 1001. Однако из-за поведения округления по умолчанию формата IEEE 754 вы получите , чьи последние 4 бита равны 1010.${\displaystyle ({\text{42883EF9}})_{16}}$${\displaystyle ({\text{42883EFA}})_{16}}$

Пример 1: Рассмотрим десятичную дробь 1. Мы видим, что:${\displaystyle (1)_{10}=(1.0)_{2}\times 2^{0}}$

Из чего мы делаем вывод:

• Показатель степени равен 0 (и, следовательно, в смещенной форме )${\displaystyle 127=0111\ 1111}$
• Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все )${\displaystyle 0=000...0}$

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в двоичном формате IEEE 754 действительного числа 1:

${\displaystyle (1)_{10}=(0\ 01111111\ 00000000000000000000000)_{2}=({\text{3F800000}})_{16}}$

Пример 2: Рассмотрим значение 0,25. Мы видим, что:${\displaystyle (0.25)_{10}=(1.0)_{2}\times 2^{-2}}$

Из чего мы делаем вывод:

• Показатель степени равен −2 (и в смещенной форме это так )${\displaystyle (127+(-2))_{10}=(125)_{10}=(0111\ 1101)_{2}}$
• Дробь равна 0 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.0, все нули)

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление формата binary32 IEEE 754 действительного числа 0,25:

${\displaystyle (0.25)_{10}=(0\ 01111101\ 00000000000000000000000)_{2}=({\text{3E800000}})_{16}}$

Пример 3: Рассмотрим значение 0,375. Мы видели это${\displaystyle 0.375={(1.1)_{2}}\times 2^{-2}}$

Следовательно, после определения представления 0,375, мы можем продолжить, как указано выше:${\displaystyle {(1.1)_{2}}\times 2^{-2}}$

• Показатель степени равен −2 (и в смещенной форме это так )${\displaystyle (127+(-2))_{10}=(125)_{10}=(0111\ 1101)_{2}}$
• Дробь равна 1 (если смотреть справа от двоичной точки в 1.1, это одно )${\displaystyle 1=x_{1}}$

Из них мы можем сформировать результирующее 32-битное представление в формате binary32 IEEE 754 действительного числа 0,375:

${\displaystyle (0.375)_{10}=(0\ 01111101\ 10000000000000000000000)_{2}=({\text{3EC00000}})_{16}}$

Примеры одинарной точности [ править ]

Эти примеры даны в битовом представлении , в шестнадцатеричном и двоичном формате значения с плавающей запятой. Сюда входят знак, (смещенная) экспонента и значащая величина.

0 00000000 00000000000000000000001 2 = 0000 0001 16 = 2 −126 × 2 −23 = 2 −149 ≈ 1.4012984643 × 10 −45 (наименьшее положительное субнормальное число)

0 00000000 11111111111111111111111 2 = 007f ffff 16 = 2 −126 × (1-2 −23 ) ≈ 1,1754942107 × 10 −38 (наибольшее субнормальное число)

0 00000001 +00000000000000000000000 2 = 0080 0000 16 = 2 -126 ≈ 1,1754943508 × 10 -38 (наименьшее положительное нормальное число)

0 11111110 +11111111111111111111111 2 = 7f7f FFFF 16 = 2 127 × (2 - 2 -23 ) ≈ 3,4028234664 × 10 38 (наибольшее нормальное число)

0 01111110 11111111111111111111111 2 = 3f7f ffff 16 = 1-2 −24 ≈ 0,999999940395355225 (наибольшее число меньше единицы)

0 01111111 00000000000000000000000 2 = 3f80 0000 16 = 1 (один)

0 01111111 00000000000000000000001 2 = 3f80 0001 16 = 1 + 2 −23 ≈ 1.00000011920928955 (наименьшее число больше единицы)

1 10000000 00000000000000000000000 2 = c000 0000 16 = −20 00000000 00000000000000000000000 2 = 0000 0000 16 = 01 00000000 00000000000000000000000 2 = 8000 0000 16 = −0 0 11111111 00000000000000000000000 2 = 7f80 0000 16 = бесконечность1 11111111 00000000000000000000000 2 = ff80 0000 16 = −infinity 0 10000000 10010010000111111011011 2 = 4049 0fdb 16 ≈ 3,14159274101257324 ≈ π (пи)0 01111101 01010101010101010101011 2 = 3eaa aaab 16 ≈ 0,333333343267440796 ≈ 1/3 x 11111111 10000000000000000000001 2 = ffc0 0001 16 = qNaN (на процессорах x86 и ARM)x 11111111 00000000000000000000001 2 = ff80 0001 16 = sNaN (на процессорах x86 и ARM)

По умолчанию 1/3 округляется в большую сторону , а не в меньшую, как при двойной точности , из-за четного числа бит в мантиссе. Биты на 1/3 за точкой округления - 1010...это более 1/2 единицы в последнем месте .

Кодировки qNaN и sNaN не указаны в IEEE 754 и по-разному реализованы на разных процессорах. Семейство x86 и процессоры семейства ARM используют старший бит значимого поля для обозначения тихого NaN. Процессоры PA-RISC используют этот бит для указания NaN сигнализации.

Преобразование двоичного числа с одинарной точностью в десятичное [ править ]

Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, есть только очень простой пример без округления. Этот раздел, вероятно, тоже не по теме: это статья не о преобразовании, а преобразование в десятичное число с использованием десятичной арифметики - редкость. Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Февраль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В этом примере мы начнем с шестнадцатеричного представления значения 41C80000 и преобразуем его в двоичное:

${\displaystyle {\text{41C8 0000}}_{16}=0100\ 0001\ 1100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}}$

затем мы разбиваем его на три части: бит знака, показатель степени и значащая величина.

• Знаковый бит: ${\displaystyle 0_{2}}$
• Показатель: ${\displaystyle 1000\ 0011_{2}=83_{16}=131_{10}}$
• Значение: ${\displaystyle 100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}=480000_{16}}$

Затем мы добавляем неявный 24-й бит к мантиссе:

• Значение: ${\displaystyle \mathbf {1} 100\ 1000\ 0000\ 0000\ 0000\ 0000_{2}={\text{C80000}}_{16}}$

и декодируем значение экспоненты вычитанием 127:

• Необработанная экспонента: ${\displaystyle 83_{16}=131_{10}}$
• Расшифрованная экспонента: ${\displaystyle 131-127=4}$

Каждый из 24 бит мантиссы (включая неявный 24-й бит), от бита 23 до бита 0, представляет собой значение, начинающееся с 1 и уменьшающееся вдвое для каждого бита, как показано ниже:

бит 23 = 1бит 22 = 0,5бит 21 = 0,25бит 20 = 0,125бит 19 = 0,0625бит 18 = 0,03125..бит 0 = 0,00000011920928955078125

Мантисса в этом примере имеет три установленных бита: бит 23, бит 22 и бит 19. Теперь мы можем декодировать мантиссу, складывая значения, представленные этими битами.

• Расшифрованное значение: ${\displaystyle 1+0.5+0.0625=1.5625={\text{C80000}}/2^{23}}$

Затем нам нужно умножить с основанием 2 на степень экспоненты, чтобы получить окончательный результат:

${\displaystyle 1.5625\times 2^{4}=25}$

Таким образом

${\displaystyle {\text{41C8 0000}}=25}$

Это эквивалентно:

${\displaystyle n=(-1)^{s}\times (1+m*2^{-23})\times 2^{x-127}}$

где s - знаковый бит, x - показатель степени, а m - значение.

Ограничения точности десятичных значений в [1, 16777216] [ править ]

• Десятичные числа от 1 до 2: фиксированный интервал 2 ⁻²³ (1 + 2 ⁻²³ - следующее по величине число с плавающей запятой после 1)
• Десятичные числа от 2 до 4: фиксированный интервал 2 ⁻²²
• Десятичные числа от 4 до 8: фиксированный интервал 2 ⁻²¹
• ...
• Десятичные числа от 2 ⁿ до 2 ^{n + 1} : фиксированный интервал 2 ^n-23
• ...
• Десятичные числа от 2 ²² = 4194304 до 2 ²³ = 8388608: фиксированный интервал 2 ⁻¹ = 0,5
• Десятичные числа от 2 ²³ = 8388608 до 2 ²⁴ = 16777216: фиксированный интервал 2 ⁰ = 1

Ограничения точности для целочисленных значений [ править ]

• Целые числа от 0 до 16777216 могут быть точно представлены (также применимо к отрицательным целым числам от -16777216 до 0)
• Целые числа от 2 ²⁴ = 16777216 до 2 ²⁵ = 33554432 округляются до кратного 2 (четного числа).
• Целые числа от 2 ²⁵ до 2 ²⁶ округляются до кратного 4
• ...
• Целые числа от 2 ⁿ до 2 ^{n + 1} округлить до кратного 2 ^n-23
• ...
• Целых между 2 ¹²⁷ и 2 ¹²⁸ раундом кратными 2 ¹⁰⁴
• Целые числа больше или равные 2 ¹²⁸ округляются до «бесконечности».

Оптимизация [ править ]

Конструкция формата с плавающей запятой допускает различные оптимизации, являющиеся результатом простой генерации аппроксимации логарифма с основанием 2 из целочисленного представления необработанного битового шаблона. Целочисленная арифметика и сдвиг битов могут дать приближение к обратному квадратному корню ( быстрый обратный квадратный корень ), что обычно требуется в компьютерной графике .

См. Также [ править ]

• Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой (IEEE 754)
• ISO / IEC 10967 , арифметика, не зависящая от языка
• Примитивный тип данных
• Численная стабильность

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Живой редактор битовых шаблонов с плавающей запятой
• Онлайн калькулятор
• Онлайн-конвертер чисел IEEE 754 с одинарной точностью
• Исходный код C для преобразования между двойной, одинарной и половинной точностью IEEE