Однопиковые предпочтения

Однопиковые предпочтения - это класс отношений предпочтений . Говорят, что группа агентов имеет односторонние предпочтения по набору возможных результатов, если результаты можно упорядочить по такой линии, что:

1. У каждого агента есть «лучший результат» в наборе, и -
2. Для каждого агента результаты, которые находятся дальше от его или ее лучшего результата, предпочтительнее.

Однопиковые предпочтения типичны для одномерных доменов. Типичный пример - это когда несколько потребителей должны решить, какое количество общественного блага нужно купить. Сумма - одномерная переменная. Обычно каждый потребитель выбирает определенное количество, которое лучше всего для него или нее, и если фактическое количество больше / меньше, чем это идеальное количество, агент будет менее удовлетворен.

В случае предпочтений с одним пиком существует простой правдивый механизм выбора результата: это выбор среднего количества. См. Теорему о среднем избирателе . Это справедливо, потому что медианная функция удовлетворяет свойству сильной монотонности .

Это понятие было впервые представлено Дунканом Блэком ^[1], а затем Кеннетом Эрроу . ^[2]

Определения [ править ]

Позвольте быть набор возможных результатов. Позвольте быть набор агентов. Отношение предпочтений i-го агента обозначено . Максимальный элемент в X обозначается _.${\ Displaystyle X = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {m} \}}$${\ Displaystyle N = \ {1, \ ldots, п \}}$${\ Displaystyle \ succ _ {я}}$${\ Displaystyle \ succ _ {я}}$${\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$

Определение с использованием общего порядка [ править ]

Говорят, что группа N имеет односторонние предпочтения по сравнению с X , если существует такой порядок результатов>, что для каждого агента i в N :

${\ displaystyle x_ {k} <x_ {j} \ leq x_ {i} ^ {*} \ Rightarrow x_ {j} \ succ _ {i} x_ {k}}$
${\ displaystyle x_ {k}> x_ {j} \ geq x_ {i} ^ {*} \ Rightarrow x_ {j} \ succ _ {i} x_ {k}}$

На словах это идеальная точка для агента i . Когда агент сравнивает два результата, которые находятся справа или слева от его идеальной точки, он строго предпочитает тот вариант, к которому он ближе всего .${\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$${\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}$

Обратите внимание, что отношения предпочтений различны, но порядок результатов должен быть одинаковым для всех агентов.${\ Displaystyle \ succ _ {я}}$

Необходимое условие [ править ]

Баллестер и Херингер ^[3] доказали следующее необходимое условие однопиковых предпочтений.

Если группа N имеет однопиковое предпочтение над X , то для каждого триплета исходов в X , существует результат , который не попал в прошлом каким - либо агентом в N .

Некоторые примеры [ править ]

Однопостовые предпочтения [ править ]

На следующем графике показан набор из трех предпочтений, которые являются односторонними по сравнению с исходами {A, B, C, D, E}. На вертикальной оси число представляет собой рейтинг предпочтения результата, где 1 является наиболее предпочтительным. Два результата, которые являются одинаково предпочтительными, имеют одинаковый рейтинг.

Порядок результатов следующий: A <B <C <D <E. Идеальный результат для зеленого агента - A, для красного - B, для синего - C. идеальный исход, рейтинг снижается.

Также можно проверить, что для каждой тройки результатов один из них никогда не занимает последнего места, а находится посередине. Например, в {A, B, C} B никогда не занимает последнего места; в {C, D, E} D никогда не занимает последнего места; и т.п.

Не одноточечные настройки [ править ]

Если каждое из двух предпочтений, представленных следующими двумя графиками, добавляется к трем предпочтениям, указанным выше, то результирующая группа из четырех предпочтений не будет однопиковой:

Для синих предпочтений видно, что рейтинг предпочтений резко падает для «D», а затем резко возрастает для «E». Это доказывает, что предпочтения синих цветов не являются однопиковыми по отношению к порядку A <B <C <D <E, но все же не доказывает, что не существует другого порядка, при котором все четыре предпочтения являются односторонними. Чтобы формально доказать это, рассмотрим набор из трех исходов {A, D, E}. Каждый из этих исходов является наихудшим исходом для некоторого агента: A худший для красного агента, D худший для синего агента и E худший для зеленого агента, указанного выше. Следовательно, никакое упорядочение по X не может сделать набор предпочтений однозначным.

Предпочтения зеленого цвета формально не являются однозначными, потому что они имеют два наиболее предпочтительных результата: «B» и «C». Такие предпочтения иногда называют однонаправленными .

Интерпретации [ править ]

Предпочтения с одним пиком могут интерпретироваться по-разному для разных приложений.

Простое применение идеологических предпочтений - думать о пространстве результатов как о местах на улице, а каждое - как об адресе отдельного человека. Предположим, что на улице должна быть единственная автобусная остановка, и каждый человек хочет как можно меньше дойти до остановки. В этом случае индивидуальные предпочтения имеют однозначные предпочтения: его идеальная точка зрения, и ему не нравятся другие места, чем дальше они находятся на западе или чем дальше на восток.${\ Displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle x_ {i}}$

Пространство результатов также можно рассматривать как разные политики в идеологическом спектре: политика слева против политики справа; более либеральная политика по сравнению с более консервативной; политика, выступающая за свободный рынок, против политики, поддерживающей вмешательство государства. Избиратели имеют односторонние предпочтения, если у них есть идеальный баланс между двумя направлениями идеологического спектра, и если им не нравится политика, тем дальше они находятся от своей идеальной точки.

Одинарные настройки [ править ]

Говорят, что группа агентов имеет однозначные предпочтения по набору возможных результатов, если результаты можно упорядочить по такой линии, что:

1. У каждого агента есть « худший исход» в наборе, и -
2. Для каждого агента более предпочтительны исходы, далекие от его наихудшего исхода .

См. Также [ править ]

• Однопараметрический механизм

Ссылки [ править ]