Уравнение Слуцкого

Уравнение Слуцкого (или тождество Слуцкого ) в экономической науке , названное в честь Евгения Слуцкого , связывает изменения маршаллианского (некомпенсированного) спроса с изменениями в хиксовском (компенсированном) спросе , который известен как таковой, поскольку он компенсирует поддержание фиксированного уровня полезности.

Есть две части уравнения Слуцкого, а именно эффект замещения и эффект дохода .

В целом эффект замещения может быть негативным для потребителей, поскольку может ограничивать выбор. Он разработал эту формулу, чтобы изучить реакцию потребителя на изменение цены. Когда цена увеличивается, бюджетный набор перемещается внутрь, что также приводит к уменьшению объема спроса. Напротив, когда цена снижается, установленный бюджет перемещается наружу, что приводит к увеличению объема спроса. Эффект замещения обусловлен эффектом изменения относительной цены, тогда как эффект дохода обусловлен эффектом высвобождения дохода. Уравнение демонстрирует, что изменение спроса на товар, вызванное изменением цены, является результатом двух эффектов:

• эффект замещения : когда цена хороших изменений, так как она становится относительно дешевле, если потребление гипотетический потребителем остается таким же, доход будет освобожден от которых можно было бы потратить на комбинации каждого или более товаров.
• эффект дохода : покупательная способность потребителя возрастает в результате снижения цен, так что потребитель теперь может позволить себе более качественную продукцию или более одинаковых продуктов, в зависимости от того , сам продукт является нормальным хорошим или хуже хорошо .

Уравнение Слуцкого разлагает изменение спроса на товар i в ответ на изменение цены товара j :

${\ displaystyle {\ partial x_ {i} (\ mathbf {p}, w) \ over \ partial p_ {j}} = {\ partial h_ {i} (\ mathbf {p}, u) \ over \ partial p_ {j}} - {\ partial x_ {i} (\ mathbf {p}, w) \ over \ partial w} x_ {j} (\ mathbf {p}, w), \,}$

где - спрос Хикса, а - маршаллианский спрос на векторе уровней цен, уровня богатства (или, альтернативно, уровня дохода) и фиксированного уровня полезности, заданного максимизацией полезности по исходной цене и доходу, формально заданным косвенной полезностью. функция . Правая часть уравнения равна изменению спроса на товар i, удерживающую полезность, фиксированную на уровне u, за вычетом количества потребляемого товара j , умноженного на изменение спроса на товар i при изменении богатства.${\ Displaystyle ч (\ mathbf {p}, и)}$${\ Displaystyle х (\ mathbf {p}, ш)}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle u}$ ${\ Displaystyle v (\ mathbf {p}, ш)}$

Первый член справа представляет эффект замещения, а второй член представляет эффект дохода. ^[1] Обратите внимание, что, поскольку полезность не наблюдаема, эффект замещения не наблюдается напрямую, но его можно рассчитать, ссылаясь на два других члена в уравнении Слуцкого, которые наблюдаются. Этот процесс иногда называют разложением Хикса изменения спроса. ^[2]

Уравнение можно переписать в терминах эластичности :

${\ displaystyle \ epsilon _ {p, ij} = \ epsilon _ {p, ij} ^ {h} - \ epsilon _ {w, i} b_ {j}}$

где ε _p - (некомпенсированная) эластичность по цене , ε _p ^h - компенсированная эластичность по цене, ε _{w, i} - эластичность по доходу для товара i , а b _j - доля бюджета товара j .

В целом, простыми словами, уравнение Слуцкого утверждает, что общее изменение спроса состоит из эффекта дохода и эффекта замещения, и оба эффекта в совокупности должны равняться общему изменению спроса.

${\ displaystyle \ Delta x_ {1} = \ Delta x_ {1} ^ {s} + \ Delta x_ {1} ^ {l}}$

Приведенное выше уравнение полезно, поскольку оно представляет колебания спроса, указывающие на разные типы товаров. Эффект замещения всегда будет отрицательным, поскольку кривые безразличия всегда имеют нисходящий наклон. Однако то же самое не относится к эффекту дохода, поскольку он зависит от того, как потребление товара изменяется с доходом.

Влияние дохода на обычные товары отрицательное, и если цена снижается, соответственно покупательная способность или доход повышаются. Обратное имеет место, когда цены растут, а покупательная способность или доход снижаются, в результате чего уменьшается и спрос.

Как правило, не все товары «нормальные». Хотя в экономическом смысле некоторые из них уступают. Однако с точки зрения качества это не означает, что они плохие, а скорее создает отрицательный профиль дохода - по мере увеличения дохода потребление товаров потребителями снижается.

Например, потребители, у которых заканчиваются деньги на продукты питания, покупают лапшу быстрого приготовления, однако этот продукт обычно не считается продуктом, который люди обычно потребляют ежедневно. Это связано с денежными ограничениями; по мере увеличения богатства потребление уменьшается. В этом случае эффект замещения отрицательный, но эффект дохода также отрицательный.

В любом случае эффект замещения или эффект дохода будет положительным или отрицательным при росте цен, в зависимости от типа товаров:

Однако невозможно сказать, будет ли общий эффект всегда отрицательным, если упоминаются второстепенные дополнительные товары. Например, эффект замещения и эффект дохода тянуть в противоположных направлениях. Общий эффект будет зависеть от того, какой эффект в конечном итоге сильнее.

Вывод [ править ]

Хотя есть несколько способов вывести уравнение Слуцкого, следующий метод, вероятно, самый простой. Начните с того, что отметьте тождество, где - функция расходов , а u - полезность, полученная путем максимизации полезности при заданных p и w . Полное дифференцирование по p _j дает следующее:${\ displaystyle h_ {i} (\ mathbf {p}, u) = x_ {i} (\ mathbf {p}, e (\ mathbf {p}, u))}$${\ Displaystyle е (\ mathbf {p}, u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}}$.

Используя тот факт, что по лемме Шепарда и что при оптимуме,${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} ,w),}$где - косвенная функция полезности ,${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$

можно заменить и переписать приведенный выше вывод как уравнение Слуцкого.

Пример [ править ]

Функция полезности Кобба-Дугласа (см. Производственную функцию Кобба-Дугласа ) с двумя товарами и доходом порождает маршаллианский спрос на товары 1 и 2 из них, а перестановка уравнения Слуцкого, помещая производную Хикса в левую часть, дает эффект замещения:${\displaystyle w}$${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

Возвращение к исходному уравнению Слуцкого показывает, как в сумме эффекты замещения и дохода дают общий эффект роста цен на объем спроса:

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

Таким образом, из общего снижения объема спроса при повышении 21/70 приходится на эффект замещения, а 49/70 - на эффект дохода. Товар 1 - это товар, на который потребитель тратит большую часть своего дохода ( ), поэтому эффект дохода так велик. ${\displaystyle .7w/p_{1}^{2}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{1}q_{1}=.7w}$

Можно проверить, что ответ от уравнения Слуцкого такой же, как от прямого дифференцирования функции спроса Хикса, которая здесь ^[3]

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,}$

где полезность. Производная${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,}$

поэтому, поскольку косвенная функция полезности Кобба-Дугласа равна, и когда потребитель использует указанные функции спроса, производная равна:${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},}$${\displaystyle u=v}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},}$

что и есть ответ на уравнение Слуцкого.

Уравнение Слуцкого также можно применить для вычисления эффекта замещения перекрестных цен. Можно подумать, что здесь он равен нулю, потому что при повышении маршаллианская величина, требуемая для товара 1, не изменяется ( ), но это неверно. Снова переформулируя уравнение Слуцкого, эффект замещения перекрестных цен имеет вид: ${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

Это говорит о том, что при повышении происходит эффект замещения в сторону товара 1. В то же время рост оказывает отрицательный эффект дохода на спрос на товар 1, противоположный эффект того же размера, что и эффект замещения, поэтому чистая эффект нулевой. Это особое свойство функции Кобба-Дугласа.${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle -.21w/(p_{1}p_{2})}$${\displaystyle p_{2}}$

Изменение сразу нескольких цен: матрица Слуцкого [ править ]

То же уравнение можно переписать в матричной форме, чтобы разрешить сразу несколько изменений цены:

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

где D _p - оператор производной по цене, а D _w - оператор производной по богатству.

Матрица известна как матрица Слуцкого , и при достаточных условиях гладкости функции полезности она является симметричной, отрицательно полуопределенной и гессианской функцией расходов. ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)}$

При наличии двух товаров уравнение Слуцкого в матричной форме имеет вид: ^[4]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

Хотя, строго говоря, уравнение Слуцкого применимо только к бесконечно малым изменениям цен, для конечных изменений обычно используется линейное приближение. Если цены двух товаров изменяются на и , то влияние на спрос на эти два товара будет следующим:${\displaystyle \Delta p_{1}}$${\displaystyle \Delta p_{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}}$

Если перемножить матрицы, то влияние на товар 1, например, будет

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

Первый член - эффект замещения. Второй член - это эффект дохода, состоящий из реакции потребителя на потерю дохода, умноженной на размер потери дохода от повышения каждой цены.

Товары Giffen [ править ]

Гиффена является продуктом , который пользуется большим спросом при повышении цен, которые также являются частными случаями неполноценных товаров. ^[5] В крайнем случае неполноценного дохода размер эффекта дохода превосходил размер эффекта замещения, что приводило к положительному общему изменению спроса в ответ на повышение цены. Разложение Слуцким изменения спроса на чистый эффект замещения и эффект дохода объясняет, почему закон спроса не выполняется для товаров Гиффена.

См. Также [ править ]

• Потребительский выбор
• Лемма Хотеллинга
• Функция спроса Хикса
• Маршаллианская функция спроса
• Производственная функция Кобба-Дугласа
• Giffen Товары
• Покупательная способность
• Нормально хорошо
• Заменить товар
• Некачественный товар
• Дополнительные товары

Ссылки [ править ]

Ссылки [ править ]

Вариан, HR (2020). Промежуточная микроэкономика: современный подход (Девятое издание). WW Norton & Company.