Техника диаграммы пространственно-временного треугольника

В физике и математике метод пространственно-временной треугольной диаграммы (STTD) , также известный как метод неполного разделения переменных Смирнова , представляет собой прямой метод пространственно-временной области для движения электромагнитных и скалярных волн.

Техника STTD принадлежит второму из двух основных подходов к теоретическому рассмотрению волн — в частотной области и в области прямого пространства-времени. Наиболее хорошо зарекомендовавшим себя методом для неоднородных (связанных с источником) описательных уравнений волнового движения является метод, основанный на методе функции Грина. ^[4] Для обстоятельств, описанных в разделе 6.4 и главе 14 « Классической электродинамики » Джексона , ^[4] его можно свести к расчету волнового поля через запаздывающие потенциалы (в частности, потенциалы Лиенара–Вихерта ).

Несмотря на определенное сходство между методами Грина и Римана–Вольтерра (в некоторой литературе функция Римана называется функцией Римана–Грина ^[5] ), их применение к задачам волнового движения приводит к различным ситуациям:

^{[7] [8]} и именно представление Римана–Вольтерра использовал Смирнов в своем «Курсе высшей математики» для доказательства единственности решения поставленной задачи (см. ^[8] , п. 143).

вызываются. Подход Римана-Вольтерра представляет те же или даже более серьезные трудности, особенно когда речь идет об источниках с ограниченным носителем: здесь фактические пределы интегрирования должны быть определены из системы неравенств, включающих пространственно-временные переменные и параметры источника срок. Однако это определение можно строго формализовать с помощью треугольных диаграмм пространства-времени. Играя ту же роль, что и диаграммы Фейнмана в физике элементарных частиц, STTD обеспечивают строгую и наглядную процедуру определения областей с тем же аналитическим представлением области интегрирования в двумерном пространстве, охватываемом неразделенной пространственной переменной и временем.

Начальные переменные z , τ .

Простейший STTD, представляющий область интегрирования треугольника, получен из интегральной формулы Римана – Вольтерра .

Статические ограничения области источника ^[10]

ПВПД для источника, ограниченного слева плоскостью , т . е . как в случае, например, для бегущего источника, распространяющегося вдоль полубесконечного излучателя .${\ Displaystyle г = 0}$${\ Displaystyle е (\ тау, г) = 0 {\ текст {для}} г <0}$${\ Displaystyle л}$

STTD для источника, ограниченного справа плоскостью , т.е.${\ Displaystyle г = л}$${\ displaystyle f (\ tau, z) = 0 {\ text {for}} z> l.}$

ПВРП для источника, ограниченного с обеих сторон, т . е . как в случае, например, для бегущего источника, распространяющегося вдоль излучателя конечной длины .${\ displaystyle f (\ tau, z) = 0 {\ text {for}} z \ notin [0, l]}$${\ Displaystyle л}$

Совместное действие ограничений разного типа, см. ссылки. ^{[1] [10] [11] [12] [13]} для подробностей и более сложных примеров

STTD для полубесконечного бегущего импульса источника.

STTD для конечного бегущего импульса источника.

STTD для конечного бегущего импульса источника, распространяющегося вдоль полубесконечного излучателя .${\displaystyle z\in \left[0,\infty \right)}$

Последовательность общих STTD для «короткого» импульса источника конечной длительности, распространяющегося вдоль конечного излучателя с постоянной скоростью . ^{[ нужна цитата ]} В этом случае источник может быть выражен в виде${\displaystyle T}$${\displaystyle z\in [0,l]}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(\tau ,z)=f_{0}(\tau ,z)\times h(z)h(l-z)h\left(\tau -{\frac {z}{\beta }}\right)h\left(T-\tau +{\frac {z}{\beta }}\right),}$

    где – ступенчатая функция Хевисайда .${\displaystyle h(\cdot )}$

Та же последовательность STTD для «длинного» импульса. ^{[ нужна ссылка ]}