Потенциалы Льенара – Вихерта. (скалярное потенциальное поле) и (векторное потенциальное поле) для точечного заряда источника на позиции путешествовать со скоростью :
а также
где:
- скорость источника, выраженная в долях скорости света;
расстояние от источника;
- единичный вектор, указывающий в направлении от источника и,
Символ означает, что величины в скобках следует оценивать в запаздывающее время. .
Обратите внимание, что часть первого члена обновляет направление поля к мгновенному положению заряда, если он продолжает двигаться с постоянной скоростью . Этот термин связан со «статической» частью электромагнитного поля заряда.
Второй член, связанный с электромагнитным излучением движущегося заряда, требует ускорения заряда.и если он равен нулю, значение этого члена равно нулю, и заряд не излучает (испускает электромагнитное излучение). Этот термин дополнительно требует, чтобы составляющая ускорения заряда была направлена поперек линии, соединяющей заряд. и наблюдатель поля . Направление поля, связанного с этим излучающим элементом, направлено в сторону полностью запаздывающего по времени положения заряда (то есть там, где был заряд, когда он был ускорен).
Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам:
Как правило, запаздывающие решения для скалярного и векторного потенциалов (единицы СИ) представляют собой
а также
где это запаздывающее время и а также удовлетворяют однородному волновому уравнению без источников и граничных условий. В случае отсутствия границ, окружающих источники, тогда а также .
Для движущегося точечного заряда, траектория которого задается как функция времени формулой , плотности заряда и тока следующие:
Эти интегралы трудно вычислить в их нынешнем виде, поэтому мы перепишем их, заменив с участием и интегрируя по дельта-распределению :
Меняем порядок интеграции:
Дельта-функция выбирает что позволяет нам легко выполнять внутреннюю интеграцию. Обратите внимание, что является функцией , поэтому эта интеграция также исправляет .
Замедленное время является функцией точки поля и траектория источника , а значит, зависит от . Поэтому для вычисления этого интеграла нам понадобится тождество
где каждый это ноль . Потому что есть только одно запаздывающее время для любых заданных координат пространства-времени и траектория источника , это сводится к:
где а также оцениваются в запаздывающее время , и мы использовали тождество . Обратите внимание, что запаздывающее время является решением уравнения . Наконец, дельта-функция выбирает, а также
которые являются потенциалами Льенара – Вихерта.
Датчик Лоренца, электрические и магнитные поля
Чтобы вычислить производные от а также удобно сначала вычислить производные запаздывающего времени. Взяв производные от обеих частей определяющего уравнения (помня, что):
Дифференцируя по t,
Аналогично, взяв градиент относительно дает
Следует, что
Их можно использовать при вычислении производных векторного потенциала, и в результате получаются следующие выражения:
Они показывают, что калибровка Лоренца выполняется, а именно, что .
Аналогично рассчитывается:
Отметив, что для любых векторов , , :
Выражение для упомянутого выше электрического поля принимает вид
что, как легко видеть, равно
по аналогии дает выражение упомянутого выше магнитного поля:
Исходные условия , , а также подлежат оценке в запаздывающее время.
Подразумеваемое
Изучение классической электродинамики сыграло важную роль в развитии Альбертом Эйнштейном теории относительности. Анализ движения и распространения электромагнитных волн привел к описанию пространства и времени в специальной теории относительности . Формулировка Льенара – Вихерта является важной стартовой площадкой для более глубокого анализа релятивистских движущихся частиц.
Описание Льенара – Вихерта является точным для большой, независимо движущейся частицы (т. Е. Трактовка является «классической», а ускорение заряда происходит из-за силы, не зависящей от электромагнитного поля). Формулировка Льенара – Вихерта всегда дает два набора решений: расширенные поля поглощаются зарядами, а запаздывающие поля испускаются. Шварцшильд и Фоккер рассматривали продвинутое поле системы движущихся зарядов и запаздывающее поле системы зарядов, имеющих одинаковую геометрию и противоположные заряды. Линейность уравнений Максвелла в вакууме позволяет добавить обе системы, так что заряды исчезнут: этот трюк позволяет уравнениям Максвелла стать линейными по материи. Умножение электрических параметров обеих задач на произвольные действительные константы приводит к когерентному взаимодействию света с веществом, которое обобщает теорию Эйнштейна [5], которая теперь считается основополагающей теорией лазеров: нет необходимости изучать большой набор идентичных молекул, чтобы получить когерентную связь. усиление в режиме, полученном путем произвольного умножения опережающего и запаздывающего полей. Для вычисления энергии необходимо использовать абсолютные поля, которые включают поле нулевой точки; в противном случае появляется ошибка, например, при подсчете фотонов.
Важно учитывать поле нулевой точки, открытое Планком. [6] Он заменяет коэффициент Эйнштейна «А» и объясняет, что классический электрон устойчив на классических орбитах Ридберга. Более того, введение флуктуаций поля нулевой точки приводит к поправке Уиллиса Э. Лэмба уровней атома H.
Квантовая электродинамика помогла объединить излучательное поведение с квантовыми ограничениями. Он вводит квантование нормальных мод электромагнитного поля в предполагаемых совершенных оптических резонаторах.
Универсальное ограничение скорости
Сила, действующая на частицу в данном месте r и времени t , сложным образом зависит от положения исходных частиц в более ранний момент времени t r из-за конечной скорости c , с которой распространяется электромагнитная информация. Частица на Земле «видит» ускорение заряженной частицы на Луне, как это ускорение произошло 1,5 секунды назад, и ускорение заряженной частицы на Солнце, как это произошло 500 секунд назад. Это более раннее время , в котором событие происходит таким образом, что частица в точке г «видит» это событие в более позднее время т называется замедленное время , т г . Время задержки зависит от положения; например, время задержки на Луне на 1,5 секунды раньше текущего времени, а время задержки на Солнце на 500 секунд раньше текущего времени на Земле. Время запаздывания t r = t r ( r , t ) неявно определяется выражением
где - расстояние частицы от источника в запаздывающий момент времени. Только эффекты электромагнитных волн полностью зависят от запаздывающего времени.
Новую особенность потенциала Льенара – Вихерта можно увидеть в разделении его членов на два типа полевых членов (см. Ниже), только один из которых полностью зависит от запаздывающего времени. Первым из них является статическое электрическое (или магнитное) поле, которое зависит только от расстояния до движущегося заряда и совсем не зависит от запаздывающего времени, если скорость источника постоянна. Другой термин - динамический, поскольку он требует, чтобы движущийся заряд ускорялся с компонентом, перпендикулярным линии, соединяющей заряд и наблюдателя, и не появлялся, пока источник не изменял скорость. Этот второй член связан с электромагнитным излучением.
Первый член описывает эффекты ближнего поля от заряда, а его направление в пространстве обновляется с помощью члена, который корректирует любое движение заряда с постоянной скоростью в его удаленном статическом поле, так что удаленное статическое поле появляется на расстоянии от заряда. , без аберраций света или световой коррекции . Этот член, который корректирует задержки по времени в направлении статического поля, требуется в соответствии с лоренц-инвариантностью. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, должен казаться удаленному наблюдателю точно так же, как статический заряд движущемуся наблюдателю, и в последнем случае направление статического поля должно изменяться мгновенно, без задержки по времени. Таким образом, статические поля (первый член) указывают точно на истинное мгновенное (не запаздывающее) положение заряженного объекта, если его скорость не изменилась за время задержки. Это верно на любом расстоянии, разделяющем объекты.
Однако второй член, который содержит информацию об ускорении и другом уникальном поведении заряда, который нельзя удалить путем изменения системы координат Лоренца (инерциальной системы отсчета наблюдателя), полностью зависит для направления от запаздывающего по времени положения объекта. источник. Таким образом, электромагнитное излучение (описываемое вторым членом) всегда кажется исходящим со стороны положения излучающего заряда в запаздывающий момент времени . Только этот второй член описывает передачу информации о поведении заряда, которая происходит (излучается зарядом) со скоростью света. На «дальних» расстояниях (длиннее нескольких длин волн излучения) зависимость этого члена от 1 / R делает эффекты электромагнитного поля (значение этого члена поля) более мощными, чем эффекты «статического» поля, которые описываются 1 / R 2 является полем первого (статического) члена и, следовательно, быстрее затухает с удалением от заряда.
Существование и уникальность запаздывающего времени
Существование
Существование запаздывающего времени в целом не гарантируется. Например, если в данной системе отсчета электрон только что был создан, то в этот самый момент другой электрон еще не чувствует своей электромагнитной силы. Однако при определенных условиях всегда существует запаздывающее время. Например, если исходный заряд существовал неограниченное время, в течение которого он всегда двигался со скоростью, не превышающей, то существует допустимое запаздывающее время . В этом можно убедиться, рассмотрев функцию. В настоящее время; . Производная дан кем-то
По теореме о среднем значении ,. Сделавдостаточно большой, это может стать отрицательным, т. е. в какой-то момент в прошлом. По теореме о промежуточном значении существует промежуточное с участием , определяющее уравнение запаздывающего времени. Интуитивно понятно, что по мере того, как исходный заряд движется назад во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время расширяется быстрее, чем он может отступить, поэтому в конечном итоге он должен достичь точки.. Это не обязательно верно, если скорость исходного заряда может быть сколь угодно близкой к, т. е. если для любой заданной скоростикогда-то в прошлом заряд двигался с такой скоростью. В этом случае сечение светового конуса в настоящее время приближается к точке поскольку наблюдатель путешествует во времени, но не обязательно когда-либо достигает его.
Уникальность
Для данной точки и траектория точечного источника , существует не более одного значения запаздывающего времени , т.е. одно значение такой, что . Это может быть реализовано, если предположить, что есть два запаздывающих времени а также , с участием . Потом, а также . Вычитание даетпо неравенству треугольника . Пока не, это означает, что средняя скорость заряда между а также является , что невозможно. Интуитивная интерпретация состоит в том, что можно "увидеть" точечный источник только в одном месте / в одно время одновременно, если только он не перемещается по крайней мере со скоростью света в другое место. По мере того как источник движется вперед во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время сжимается быстрее, чем может приблизиться источник, поэтому он никогда не сможет пересечь точку. очередной раз.
Напрашивается вывод, что при определенных условиях запаздывающее время существует и уникально.