Формула лармора

Волновой канал . Радиоволны могут излучаться антенной за счет ускорения электронов в антенне. Это когерентный процесс, поэтому общая излучаемая мощность пропорциональна квадрату числа ускоряющихся электронов.

В электродинамики , то формула Лармора используется для расчета общей мощности , излучаемой в нерелятивистском точечного заряда , как она ускоряется. Впервые он был получен Дж. Дж. Лармором в 1897 г. ^[1] в контексте волновой теории света .

Когда любая заряженная частица (например, электрон , протон или ион ) ускоряется, она излучает энергию в виде электромагнитных волн . Для скоростей, которые малы по сравнению со скоростью света , полная излучаемая мощность определяется формулой Лармора:

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ (SI units)}}}$

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ (cgs units)}}}$

где - собственное ускорение, - заряд, - скорость света. Релятивистское обобщение дают потенциалы Льенара – Вихерта .${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle c}$

В любом системном блоке, мощность излучения одного электрона может быть выражена в терминах классического радиуса электрона и массы электрона , как:

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$

Одно из следствий состоит в том, что электрон, вращающийся вокруг ядра, как в модели Бора , должен потерять энергию, упасть на ядро ​​и атом должен схлопнуться. Эта загадка не была решена до тех пор, пока не была представлена квантовая теория .

Вывод [ править ]

Вывод 1: Математический подход (с использованием единиц CGS) [ править ]

Сначала нам нужно найти форму электрического и магнитного полей. Поля можно записать (более полный вывод см. В потенциале Льенара – Вихерта )

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}$

и

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,}$

где - скорость заряда, деленная на , - ускорение заряда, деленное на c , - единичный вектор в направлении, - величина , - местоположение заряда, и . Сроки справа оцениваются в запаздывающее время .${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle t_{\text{r}}=t-R/c}$

Правая часть представляет собой сумму электрических полей, связанных со скоростью и ускорением заряженной частицы. Поле скорости зависит только от, в то время как поле ускорения зависит как от и, так и от углового отношения между ними. Поскольку поле скорости пропорционально , оно очень быстро спадает с расстоянием. С другой стороны, поле ускорения пропорционально , что означает, что с расстоянием оно падает гораздо медленнее. Из-за этого поле ускорения представляет поле излучения и отвечает за унос большей части энергии от заряда.${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$${\displaystyle 1/R^{2}}$${\displaystyle 1/R}$

Мы можем найти плотность потока энергии поля излучения, вычислив его вектор Пойнтинга :

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},}$

где нижние индексы «а» подчеркивают, что мы берем только поле ускорения. Подставляя соотношение между магнитным и электрическим полями, предполагая, что частица мгновенно находится в состоянии покоя, и упрощая, получаем ^{[примечание 1]}${\displaystyle t_{\text{r}}}$

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .}$

Если мы допустим угол между ускорением и вектором наблюдения равным , и мы введем ускорение , то мощность, излучаемая на единицу телесного угла, равна${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c}$

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.}$

Полная излучаемая мощность находится путем интегрирования этой величины по всем телесным углам (то есть по и ). Это дает${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}$

что является результатом Лармора для нерелятивистского ускоренного заряда. Он связывает мощность, излучаемую частицей, с ее ускорением. Это ясно показывает, что чем быстрее заряд разгоняется, тем сильнее будет излучение. Этого следовало ожидать, поскольку поле излучения зависит от ускорения.

Вывод 2: подход Эдварда М. Перселла [ править ]

Полный вывод можно найти здесь. ^[2]

Вот объяснение, которое может помочь понять приведенную выше страницу.

Этот подход основан на конечной скорости света. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, имеет радиальное электрическое поле (на расстоянии от заряда), всегда возникающее из будущего положения заряда, и нет тангенциальной составляющей электрического поля . Это будущее положение полностью детерминировано, пока скорость постоянна. Когда скорость заряда изменяется (скажем, он отскакивает назад в течение короткого времени), будущее положение "прыгает", так что с этого момента и далее радиальное электрическое поле выходит из нового положения. Учитывая тот факт, что электрическое поле должно быть непрерывным, появляется ненулевая тангенциальная составляющая электрического поля , которая убывает как${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (E_{t}=0)}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{t}}$${\displaystyle 1/R}$(в отличие от радиальной составляющей которая вроде уменьшается ).${\displaystyle 1/R^{2}}$

Следовательно, на больших расстояниях от заряда радиальная составляющая пренебрежимо мала по сравнению с тангенциальной составляющей, и в дополнение к этому поля, которые ведут себя подобным образом, не могут излучать, потому что вектор Пойнтинга, связанный с ними, будет вести себя так же .${\displaystyle 1/R^{2}}$${\displaystyle 1/R^{4}}$

Выходит тангенциальная составляющая (единицы СИ):

${\displaystyle E_{t}={{ea\sin(\theta )} \over {4\pi \varepsilon _{0}c^{2}R}}.}$

И чтобы получить формулу Лармура, нужно проинтегрировать по всем углам на большом расстоянии от заряда вектор Пойнтинга, связанный с , который имеет вид:${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{t}}$

${\displaystyle \mathbf {S} ={E_{t}^{2} \over \mu _{0}c}\mathbf {\hat {r}} ={{e^{2}a^{2}\sin ^{2}(\theta )} \over {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

подача (единицы СИ)

${\displaystyle P={{e^{2}a^{2}} \over {6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}.}$

Математически это эквивалентно:

${\displaystyle P={{\mu _{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}.}$

Так как мы восстанавливаем результат, приведенный в начале статьи, а именно${\displaystyle c^{2}=1/\mu _{0}\epsilon _{0}}$

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}.}$

Релятивистское обобщение [ править ]

Ковариантная форма [ править ]

Записанная в единицах импульса p , нерелятивистская формула Лармора имеет вид (в единицах СГС) ^[3]

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}.}$

Можно показать, что мощность P инвариантна по Лоренцу . ^[3] Следовательно, любое релятивистское обобщение формулы Лармора должно связывать P с некоторой другой инвариантной лоренц-величиной. Величина, фигурирующая в нерелятивистской формуле, предполагает, что релятивистски правильная формула должна включать скаляр Лоренца, найденный путем взятия внутреннего произведения четырех ускорений a ^μ = dp ^μ / d τ на себя [здесь p ^μ = (γ mc , γ m v ) - четырехимпульсный${\displaystyle |{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$ ]. Правильное релятивистское обобщение формулы Лармора (в единицах СГС) ^[3]

Можно показать, что этот внутренний продукт определяется выражением ^[3]

${\displaystyle {\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=\beta ^{2}\left({\frac {dp}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf {p} }}{d\tau }}\right)^{2},}$

и поэтому в пределе β ≪ 1 она сводится к , таким образом воспроизводя нерелятивистский случай.${\displaystyle -|{\dot {\mathbf {p} }}|^{2}}$

Нековариантная форма [ править ]

Вышеупомянутый внутренний продукт также можно записать в терминах β и его производной по времени. Тогда релятивистское обобщение формулы Лармора имеет вид (в единицах СГС) ^[3]

Это результат Льенара, который был впервые получен в 1898 году. Это означает, что когда фактор Лоренца очень близок к единице (т. Е. ) Излучение, испускаемое частицей, вероятно, будет незначительным. Однако по мере роста излучения частица пытается потерять свою энергию в виде электромагнитных волн. Кроме того, когда ускорение и скорость ортогональны, мощность уменьшается в раз , то есть коэффициент становится равным . Чем быстрее становится движение, тем сильнее становится это уменьшение.${\displaystyle \gamma ^{6}}$ ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$${\displaystyle \beta \ll 1}$${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$${\displaystyle \gamma ^{6}}$${\displaystyle 1-\beta ^{2}=1/\gamma ^{2}}$${\displaystyle \gamma ^{6}}$${\displaystyle \gamma ^{4}}$

Мы можем использовать результат Льенара, чтобы предсказать, какого рода радиационные потери следует ожидать при различных видах движения.

Угловое распределение [ править ]

Угловое распределение излучаемой мощности задается общей формулой, применимой независимо от того, является ли частица релятивистской. В единицах CGS эта формула имеет вид ^[4]

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {|\mathbf {\hat {n}} \times [(\mathbf {\hat {n}} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta }})^{5}}},}$

где - единичный вектор, направленный от частицы к наблюдателю. В случае линейного движения (скорость параллельна ускорению) это упрощается до ^[5]${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin ^{2}\theta }{(1-\beta \cos \theta )^{5}}},}$

где - угол между наблюдателем и движением частицы.${\displaystyle \theta }$

Проблемы и последствия [ править ]

Радиационная реакция [ править ]

Излучение заряженной частицы несет энергию и импульс. Чтобы обеспечить сохранение энергии и импульса, заряженная частица должна испытывать отдачу во время испускания. Излучение должно оказывать на заряженную частицу дополнительную силу. Эта сила известна как сила Абрахама-Лоренца в нерелятивистском пределе и сила Абрахама-Лоренца-Дирака в релятивистском контексте.

Атомная физика [ править ]

Классический электрон, вращающийся вокруг ядра, испытывает ускорение и должен излучать. Следовательно, электрон теряет энергию, и электрон в конечном итоге должен спирально проникнуть в ядро. Следовательно, атомы, согласно классической механике, нестабильны. Это классическое предсказание нарушается наблюдением стабильных электронных орбит. Проблема решена с помощью квантово-механического описания атомной физики , первоначально предоставленного моделью Бора. Классические решения проблемы стабильности электронных орбиталей могут быть продемонстрированы с использованием безызлучательных условий ^[6] и в соответствии с известными физическими законами. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• Атомная теория
• Циклотронное излучение
• Уравнение электромагнитной волны
• Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени
• Радиационная реакция
• Волновое уравнение
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Лармор, «О динамической теории электрической и светоносной среды», Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897), стр. 205–300 (третья и последняя в серии статей с таким же названием).
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.) . Вайли. ISBN 0-471-30932-X. (Раздел 14.2ff)
• Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Р.П. Фейнман; FB Moringo; WG Wagner (1995). Лекции Фейнмана по гравитации . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.